3次関数の決定と平行移動

次の関数\(\small{ \ f(x) \ }\)を求めよ。
(1)\(\small{ \ x=-1 \ }\)で極大値\(\small{ \ 5 \ }\)、\(\small{ \ x=2 \ }\)で極小値\(\small{ \ -4 \ }\)をとる
(2)\(\small{ \ y=x^3-3x+2 \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)軸正の方向に平行移動したグラフで原点を通る

(1)\(\small{ \ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \ }\)とすると
\(\small{ \ f(-1)=5 \ }\)\(\small{ \ f(2)=-4 \ }\)\(\small{ \ f'(-1)=0 \ }\)\(\small{ \ f'(2)=0 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l} \ -a+b-c+d=5\\
8a+4b+2c+d=-4\\
3a-2b+c=0\\
12a+4b+c=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=\displaystyle \frac{2}{3}, \ b=-1, \ c=-4, \ d =\displaystyle \frac{8}{3} \ }\)
よって\(\small{ \ f(x)=\displaystyle \frac{2}{3}x^3-x^2-4x+\displaystyle \frac{8}{3} \ }\)

(2)\(\small{ \ x \ }\)軸方向に\(\small{ \ p \ }\)平行移動したグラフは
\(\small{ \ f(x)=(x-p)^3-3(x-p)+2=0 \ }\)
これが原点を通るから\(\small{ \ f(0)=0 \ }\)より
\(\small{ \ p^3-3p-2=0 \ }\)
\(\small{ \ (p+1)^2(p-2)=0 \ }\)
題意より\(\small{ \ p \gt 0 \ }\)より\(\small{ \ p=2 \ }\)
よって求めるグラフは\(\small{ \ f(x)=x^3-6x^2+9x \ }\)

\(\small{ \ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \ }\)とする。関数\(\small{ \ y=f(x) \ }\)のグラフは点\(\small{ \ (2, \ 1) \ }\)に関して対称であり、この関数は\(\small{ \ x=1 \ }\)のとき極大値をとる。このとき\(\small{ \ a, \ b, \ c, \ d \ }\)の値を求めよ。

\(\small{ \ (2, \ 1) \ }\)に関して\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上の\(\small{ \ (x, \ y) \ }\)と対称な点を\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)とすると\(\small{ \ y=f(x) \ }\)のグラフは点\(\small{ \ (2, \ 1) \ }\)に関して対称だから\(\small{ \ b=f(a) \ }\)が成り立つ
\(\small{ \ (2, \ 1)=\left(\displaystyle \frac{x+a}{2}, \ \displaystyle \frac{y+b}{2}\right) \ }\)より
\(\small{ \ a=4-x, \ b=2-y \ }\)
これを\(\small{ \ b=f(a) \ }\)に代入すると
\(\small{ \ 2-y=(4-x)^3+a(4-x)^2+b(4-x)+c \ }\)
これを整理して

これが\(\small{ \ y=x^3+ax^2+bx+c \ }\)と等しいので、係数比較して
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a=-a+12\\
b=8a+b+48\\
c=-16a-4b-c-62
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
また、\(\small{ \ x=1 \ }\)のとき極大値をとるので\(\small{ \ f'(1)=0 \ }\)より
\(\small{ \ 2a+b+3=0 \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=-6, \ b=9, \ c=-1 \ }\)