三角関数と媒介変数

点\(\small{ \ P(x, \ y) \ }\)が原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)を中心とする半径\(\small{ \ \sqrt{2} \ }\)の円周上を動くとき次の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ \sqrt{3}x+y \ }\)の最小値を求めよ。
(2)\(\small{ \ x^2+2xy+3y^2 \ }\)の最大値を求めよ。

原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)を中心とする半径\(\small{ \ \sqrt{2} \ }\)の円周上の点は\(\small{ \ \left(x, \ y\right)=\left(\sqrt{2}\cos\theta, \ \sqrt{2}\sin\theta\right) \ }\)\(\small{ \ (0\leqq \theta \lt 2\pi) \ }\)とおける
(1)
\(\small{\begin{eqnarray} \ &&\sqrt{3}x+y\\
&&=\sqrt{6}\cos\theta+\sqrt{2}\sin\theta\\
&&=2\sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\displaystyle\frac{1}{2}\sin\theta\right)\\
&&=2\sqrt{2}\left(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \ \end{eqnarray}}\)
よって\(\small{ \ \sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-1 \ }\)のとき
最小値\(\small{ \ -2\sqrt{2} \ \ \left(\theta=\displaystyle\frac{7}{6}\pi\right) \ }\)

(2)
\(\small{\begin{eqnarray} \ &&x^2+2xy+3y^2\\
&&=2\cos^2\theta+4\sin\theta\cos\theta+6\sin^2\theta\\
&&=2\cdot\displaystyle\frac{1+\cos2\theta}{2}+4\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\sin2\theta+6\cdot\displaystyle\frac{1-\cos2\theta}{2}\\
&&=2\sin2\theta-2\cos2\theta+4\\
&&=2\sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\sin2\theta-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cos2\theta\right)+4\\
&&=2\sqrt{2}\sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)+4 \ \end{eqnarray}}\)
よって\(\small{ \ \sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=1 \ }\)のとき
最大値\(\small{ \ 2\sqrt{2}+4 \ \ \left(\theta=\displaystyle\frac{3}{8}\pi, \ \displaystyle\frac{11}{8}\pi\right) \ }\)

媒介変数\(\small{ \ x=\sqrt{2}\cos\theta, y=\sqrt{3}\sin\theta \ }\)\(\small{ \ (0\leqq \theta\lt 2\pi) \ }\)で表される曲線を\(\small{ \ C \ }\)とする。
(1)\(\small{ \ C \ }\)上の点\(\small{ \ (x, \ y) \ }\)に対して、\(\small{ \ x-y \ }\)のとる値の最大値および最小値と、そのときの\(\small{ \ x, \ y \ }\)の値を求めよ。
(2)\(\small{ \ C \ }\)上の点\(\small{ \ (x, \ y) \ }\)に対して、\(\small{ \ (x+y)(x-y) \ }\)のとる値の最大値および最小値と、そのときの\(\small{ \ x, \ y \ }\)の値を求めよ。

(1)
\(\small{\begin{eqnarray} \ x-y&=&\sqrt{2}\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta\\
&=&\sqrt{5}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\theta-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\sin\theta\right)\\
&=&\sqrt{5}\cos(\theta+\alpha) \ \end{eqnarray}}\)
ただし\(\small{ \ \alpha \ }\)は\(\small{ \ \cos\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}},\sin\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \ }\)を満たす角
最大値は\(\small{ \ \cos(\theta+\alpha)=1 \ }\)のとき\(\small{ \ \sqrt{5} \ }\)
このとき\(\small{ \ \theta+\alpha=2\pi  \ }\)より\(\small{ \ \theta=2\pi-\alpha \ }\)
よって
\(\small{\begin{eqnarray} \ x&=&\sqrt{2}\cos(2\pi-\alpha)\\
&=&\sqrt{2}\cos\alpha=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&\sqrt{3}\sin(2\pi-\alpha)\\
&=&-\sqrt{3}\sin\alpha=-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{5}} \ \end{eqnarray}}\)

最小値は\(\small{ \ \cos(\theta+\alpha)=-1 \ }\)のとき\(\small{ \ -\sqrt{5} \ }\)
このとき\(\small{ \ \theta+\alpha=\pi  \ }\)より\(\small{ \ \theta=\pi-\alpha \ }\)
よって
\(\small{\begin{eqnarray} \ x&=&\sqrt{2}\cos(\pi-\alpha)\\
&=&-\sqrt{2}\cos\alpha=-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&\sqrt{3}\sin(\pi-\alpha)\\
&=&\sqrt{3}\sin\alpha=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{5}} \ \end{eqnarray}}\)

(2)
\(\small{\begin{eqnarray} \ (x+y)(x-y)&=&2\cos^2\theta-3\sin^2\theta\\
&=&1+\cos2\theta-3\displaystyle\frac{1-\cos2\theta}{2}\\
&=&\displaystyle\frac{5}{2}\cos2\theta-\displaystyle\frac{1}{2} \ \end{eqnarray}}\)
最大値は\(\small{ \ \cos2\theta=1 \ }\)のとき\(\small{ \ 2 \ }\)
このとき\(\small{ \ \theta=0, \ \pi, \ 2\pi  \ }\)
よって
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\sqrt{2}\cos\theta=\pm\sqrt{2}\\
y=\sqrt{3}\sin\theta=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}  \ }\)
最小値は\(\small{ \ \cos2\theta=-1 \ }\)のとき\(\small{ \ -3 \ }\)
このとき\(\small{ \ \theta=\pi, \ 3\pi  \ }\)
よって
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\sqrt{2}\cos\theta=0\\
y=\sqrt{3}\sin\theta=\pm\sqrt{3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}  \ }\)