こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角比の対称式について学習していこう。
三角比の対称式は2次の基本対称式を利用
\(\small{ \ \sin\theta+\cos \theta=a \ }\)と与えられているだけで、この式から色々な値を求めることが出来るんだ。今回はどんな値を求めることが出来るのか、一つ一つ整理していこう。
\(\small{ \ \sin \theta + \cos \theta=a \ }\)のとき
両辺を二乗すると
\(\small{\begin{eqnarray} \ a^2&=& \sin^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta\\[8pt]
&=&1+ \sin \theta \cos \theta \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \therefore \sin \theta \cos \theta= \displaystyle \frac{a^2-1}{2} \ }\)
よって\(\small{ \ 2 \ }\)次の基本対称式\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\sin \theta + \cos \theta=a\\
\sin \theta \cos \theta= \displaystyle \frac{a^2-1}{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)が導ける
θの範囲と積の符号
\(\small{ \ \sin \theta \cos \theta \gt 0 \ }\)の場合、\(\small{ \ \sin \theta \ }\)と\(\small{ \ \cos \theta \ }\)の値が同符号だから、 \(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)のとき、 \(\small{ \ \theta \ }\)は第一象限 \(\small{ \ 0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ} \ }\)にあることが言えるよね。
逆に\(\small{ \ \sin \theta \cos \theta \lt 0 \ }\)の場合、\(\small{ \ \sin \theta \ }\)と\(\small{ \ \cos \theta \ }\)の値が異符号だから、 \(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)のとき、 \(\small{ \ \theta \ }\)は第二象限 \(\small{ \ 90^{\circ} \lt \theta \lt 180^{\circ} \ }\)にあることが言えるよね。
このように積の符号から\(\small{ \ \theta \ }\)の範囲がわかるから、必ず確認しておこう。
基本対称式の利用
\(\small{ \ \sin \theta+ \cos \theta \ }\)か\(\small{ \ \sin \theta \cos \theta \ }\)のどちらか一方の値が与えられていると、もう片方の値も求めることが出来るよね。
ってことは三角比の基本対称式が求まったことになるんだ。
だから\(\small{ \ \sin \theta \ }\)と \(\small{ \ \cos \theta \ }\)を入れ替えても変わらない対称式は、\(\small{\sin \theta+ \cos \theta \ }\)と\(\small{ \ \sin \theta \cos \theta \ }\)の基本対称式で表すことが出来るんだ。
対称式がイマイチよくわかってない人は、下のページを読んで確認しておこう。
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対称式
基本対称式の解説や定番の対称式を解説しています。
続きを見る
\(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)で\(\small{ \ \sin\theta＋\cos\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2} \ }\)のとき、\(\small{ \ \sin\theta-\cos\theta \ }\)の値を求めよ。
\(\small{ \ \sin\theta＋\cos\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2} \ }\)より
両辺\(\small{ \ 2 \ }\)乗すると
\(\small{ \ \left(\sin\theta＋\cos\theta\right)^2=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 \ }\)
\(\small{ \ 1+2\sin\theta\cos\theta=\displaystyle\frac{3}{2} \ }\)
\(\small{ \ \sin\theta\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)
&=&\left(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2-4\cdot\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{2} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \therefore \sin\theta-\cos\theta=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \ }\)
ここで\(\small{ \ \sin\theta\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)より\(\small{ \ 0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ} \ }\)
\(\small{ \ 0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ} \ }\)のとき\(\small{ \ \sin\theta \lt \cos\theta \ }\)
\(\small{ \ \theta =45^{\circ} \ }\)のとき\(\small{ \ \sin\theta = \cos\theta \ }\)
\(\small{ \ 45^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ} \ }\)のとき\(\small{ \ \sin\theta \gt \cos\theta \ }\)
よって
(i)\(\small{ \ 0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ} \ }\)のとき
\(\small{ \ \sin\theta-\cos\theta=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \ }\)
(ii)\(\small{ \ \theta =45^{\circ} \ }\)のとき
\(\small{ \ \sin\theta-\cos\theta=0 \ }\)
(iii)\(\small{ \ 45^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ} \ }\)のとき
\(\small{ \ \sin\theta-\cos\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \ }\)
Point 三角比の基本対称式
①\(\small{ \ \sin\theta+\cos \theta=a \ }\)は\(\small{ \ 2 \ }\)乗して\(\small{ \ \sin\theta\cos \theta \ }\)を求める
②求める答えが対称式の場合は①で求めた基本対称式を利用する
\(\small{ \ \sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)のとき次の値を求めよ
(1)\(\small{ \ \tan\theta+\displaystyle\frac{1}{\tan\theta} \ }\)
(2)\(\small{ \ \tan^3 \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan^3 \theta} \ }\)
(3)\(\small{ \ \sin^3\theta+\cos^3 \theta \ }\)
(4)\(\small{ \ \sin^4\theta+\cos^4\theta \ }\)
(1)
ここで\(\small{ \ \sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)より
両辺を\(\small{ \ 2\ }\)乗して
\(\small{ \ 1+2\sin\theta\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \sin\theta\cos\theta=-\displaystyle\frac{3}{8} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \tan\theta+\displaystyle\frac{1}{\tan\theta}=-\displaystyle\frac{8}{3} \ }\)
(2)
&=&\left(-\displaystyle\frac{8}{3}\right)^3-3\left(-\displaystyle\frac{8}{3}\right)\\
&=&-\displaystyle\frac{296}{27} \ \end{eqnarray}}\)
(3)
&=&\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3-3\left(-\displaystyle\frac{3}{8}\right)\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\\
&=&\displaystyle\frac{11}{16} \ \end{eqnarray}}\)
(4)
&=&1-2\left(-\displaystyle\frac{3}{8}\right)^2\\
&=&\displaystyle\frac{23}{32} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ a^4+b^4=(a^3+b^3)(a+b)-ab(a^2+b^2) \ }\)
ともいえる。
この関係式を一般化すると
ってなる。
受験生はこの関係式を漸化式で二つの仮定を必要とする問題で使ったこともあるんじゃないかな。
一般化した式も頭の片隅に入れておこう。
