接線の方程式

(1)\(\small{ \ f(x)=x^3-5x \ }\)とすると求める方程式は
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&f'(-1)(x+1)+f(-1)\\
&=&-2(x+1)+4\\
&=&-2x+2 \ \end{eqnarray}}\)

(2)\(\small{ \ f'(t)=7 \ }\)となる\(\small{ \ t \ }\)を求めれば良いので、\(\small{ \ 3t^2-5=7 \ \therefore t=\pm2\ }\)
よって求める方程式は
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y=7(x-2)-2=7x-16\\
y=7(x+2)+2=7x+16
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

(3)\(\small{ \ f(x)=x^3-2x^2+1 \ }\)とすると
\(\small{ \ (t,f(t)) \ }\)における接線の方程式は
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&f'(t)(x-t)+f(t)\\
&=&(3t^2-4t)x-2t^3+2t^2+1 \ \end{eqnarray}}\)
これが\(\small{ \ (3,1) \ }\)を通るから
\(\small{ \ 1=3(3t^2-4t)-2t^3+2t^2+1 \ }\)
\(\small{ \ 2t^3-11t^2+12t=0 \ }\)
\(\small{ \ t(2t-3)(t-4)=0 \ }\)
\(\small{ \ t=0, \ \displaystyle \frac{3}{2}, \ 4 }\)
よって求める接線の方程式は
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y=1\\
y=\displaystyle \frac{3}{4}x-\displaystyle \frac{5}{4}\\
y=32x-95
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

接点の\(\small{ \ x \ }\)座標を\(\small{ \ t \ }\)とすると、
接線の方程式は \(\small{ \ y=3t^2(x-t)-t^3=3t^2x-2t^3 \ }\)
よって\(\small{ \ x \ }\)軸との交点の\(\small{ \ x \ }\)座標は
\(\small{ \ 3t^2x-2t^3=0 \ }\)
\(\small{ \ t\neq 0 \ }\)より\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{2}{3}t \ }\)
また接線が曲線と交わる点の\(\small{ \ x \ }\)座標は
\(\small{ \ x^3=3t^2x-2t^3 \ }\)
\(\small{ \ x^3-3t^2x+2t^3=0 \ }\)
\(\small{ \ (x-t)^2(x+2t)=0 \ }\)
よって\(\small{ \ x=-2t \ }\)
線分の長さの比は\(\small{ \ x \ }\)座標の差の比と等しいから
\(\small{ \ \mathrm{PQ}:\mathrm{QR}:\mathrm{RS} =\displaystyle \frac{1}{3}t:\displaystyle \frac{2}{3}t:2t\\
=1:2:6 \ }\)