数列の和とΣの計算

次の数列の一般項と初項から第\(\small{ \ n \ }\)項までの和を求めよ。
(1)\(\small{ \ 1\cdot1、2\cdot3、3\cdot5、4\cdot7、\cdots \ }\)
(2)\(\small{ \ 1、1+3、1+3+9、1+3+9+27、\cdots \ }\)

(1)左側の項は\(\small{ \ 1、2、3、\cdots \ }\)の初項\(\small{ \ 1 \ }\)公差\(\small{ \ 1 \ }\)の等差数列、右側の項は\(\small{ \ 1、3、5、\cdots \ }\)の初項\(\small{ \ 1 \ }\)公差\(\small{ \ 2 \ }\)の等差数列より求める一般項は\(\small{ \ a_n=n(2n-1) \ }\)
よって初項から第\(\small{ \ n \ }\)項までの和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)は
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}_n&=& \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k\\
&=& \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k(2k-1) \\
&=&2\cdot\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \\
&=&\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(4n-1) \end{eqnarray}}\)
(2)一般項\(\small{ \ a_n \ }\)は
\(\small{ \begin{eqnarray} a_n&=&1+3+9+\cdots+3^{n-1} \\
&=&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } 3^{k-1}=\displaystyle \frac{3^n-1}{2} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \begin{eqnarray}\mathrm{S}_n&=&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \left(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 3^{k}-\displaystyle \frac{1}{2}\right) \\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\displaystyle \frac{3(3^n-1)}{2}-\displaystyle \frac{1}{2}n\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(3^{n+1}-2n-3) \end{eqnarray}}\)

(1)\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)を示しなさい。
(2)\(\small{ \ (k+1)^3-k^3 \ }\)の展開を利用して、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)を示しなさい。
(3)\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^3=\left\{ \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \ }\)を示しなさい。
(4)\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^4 \ }\)を求めなさい。

(1)\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=1+2+\cdots+n \ }\)として、これを逆から書いた
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=n+\cdots+2+1 \ }\)を加えるとどの項も\(\small{ \ n+1 \ }\)となるから
\(\small{ \ 2\mathrm{S}_n=n(n+1) \ }\)
\(\small{ \ \therefore \mathrm{S}_n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)

(2)\(\small{ \ (k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

(1)より\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1=n \ }\)より
\(\small{ \ 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=(n+1)^3-\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)-n-1\\
=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) \ }\)
よって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)

(3)(2)と同様に
\(\small{ \ (k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

(1)(2)より

よって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3=\left\{ \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \ }\)

(4)\(\small{ \ (k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

(1)(2)(3)より

\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \ }\)
よって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^4=\displaystyle \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \ }\)