等差数列と等差数列の和

ある等差数列は第\(\small{ \ 5 \ }\)項が\(\small{ \ 12 \ }\)で、初項から第\(\small{ \ 7 \ }\)項までの和が\(\small{ \ 42 \ }\)である。この等差数列を求めよ。

\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)の初項を\(\small{ \ a_1 \ }\)、公差を\(\small{ \ d \ }\)とすると一般項は\(\small{ \ a_n=a_1+(n-1)d \ }\)になる。
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_5=a_1+4d=12\\
\mathrm{S}_7=\displaystyle \frac{7}{2}(2a_1+6d)=42
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a_1=-12、d=6 \ }\)
よって\(\small{ \ a_n=6n-6 \ }\)

等差数列\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)が\(\small{ \ a_2+a_4+a_6=453、a_3+a_7=296 \ }\)を満たしているとき、次の問いに答えよ。
(1)一般項\(\small{ \ a_n \ }\)を求めよ。
(2)初項から第\(\small{ \ n \ }\)項までの和を\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)とする。\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)の最大値とそのときの\(\small{ \ n \ }\)の値を求めよ。
(3)\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)の絶対値\(\small{ \ |\mathrm{S}_n| \ }\)の最小値とそのときの\(\small{ \ n \ }\)の値を求めよ。

(1)\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)の初項を\(\small{ \ a_1 \ }\)、公差を\(\small{ \ d \ }\)とすると一般項は\(\small{ \ a_n=a_1+(n-1)d \ }\)になる。
\(\small{ \ a_2+a_4+a_6=453 \ }\)より\(\small{ \ (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)=453 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a_1+3d=151 \cdots ①\ }\)
\(\small{ \ a_3+a_7=296 \ }\)より\(\small{ \ (a_1+2d)+(a_1+6d)=296 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a_1+4d=148\cdots ②\ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_1+3d=151\\
a_1+4d=148
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a_1=160、d=-3 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a_n=-3n+163 \ }\)

(2)\(\small{ \ a_n =-3n+163\gt0 \ }\)とすると
\(\small{ \ n\lt\displaystyle \frac{163}{3}=54.33\cdots \ }\)
よって\(\small{ \ a_n \ }\)は初項から第\(\small{ \ 54 \ }\)項まで正の数になるから、\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を最大にする\(\small{ \ n \ }\)の値は\(\small{ \ n=54 \ }\)
そのときの最大値は\(\small{ \ \displaystyle \frac{54}{2}\{2\cdot160-3(54-1)\}=4347 \ }\)

(3)\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \frac{n}{2}(-3n+323)\gt0 \ }\)とすると\(\small{ \ n<\displaystyle \frac{323}{3}=107.66\cdots \ }\)
ここで(1)(2)の結果に注意すると

となり
\(\small{ \ \mathrm{S}_1=160 \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{S}_{107}=107 \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{S}_{108}=-54 \ }\)より\(\small{ \ |\mathrm{S}_n| \ }\)を最小にする\(\small{ \ n \ }\)の値は\(\small{ \ n=108 \ }\)
そのときの最小値は\(\small{ \ |-54|=54 \ }\)

等差数列をなす\(\small{ \ 3 \ }\)つの数は、和が\(\small{ \ 21 \ }\)で、積が\(\small{ \ 280 \ }\)である。この\(\small{ \ 3 \ }\)つ数を求めよ。

\(\small{ \ 3 \ }\)つの数を\(\small{ \ a-d、a、a+d \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(a-d)+a+(a+d)=21\\
(a-d)\cdot a \cdot (a+d)=280
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=7、d=3 \ }\)
よって求める\(\small{ \ 3 \ }\)つの数は\(\small{ \ 4、7、10 \ }\)

\(\small{ \ 3 \ }\)つの実数\(\small{ \ 2^{x+2}、2^{2x}、2^4 \ }\)が等差数列になるとき、\(\small{ \ x \ }\)の値を求めよ。

\(\small{ \ 3 \ }\)つの実数\(\small{ \ 2^{x+2}、2^{2x}、2^4 \ }\)が等差数列により、\(\small{ \ 2\cdot2^{2x}=2^{x+2}+2^4 \ }\)が成り立つ。
\(\small{ \ 2\cdot2^{2x}=4\cdot2^x+16\\
2\cdot2^{2x}-4\cdot2^x-16=0\\
2^{2x}-2\cdot2^x-8=0 \ }\)
\(\small{ \ t=2^x \ }\)とすると\(\small{ \ (t\gt0) \ }\)
\(\small{ \ t^2-2t-8=0}\)
\(\small{ \ (t-4)(t+2)=0　　t\gt0 \ }\)より\(\small{ \ t=4 　\therefore x=2\ }\)