こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は等差数列×等比数列の和の求め方について学習していこう。
等差数列×等比数列の和
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k\cdot2^k \ }\)を見たら\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\cdot\displaystyle \frac{2(2^n-1)}{2-1} \ }\)ってやりたくなるけど、全然違うからね。
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\cdot\displaystyle \frac{2(2^n-1)}{2-1} \ }\)は\(\small{ \ (1+2+\cdots+n)(2+4+8+\cdots+2^n) \ }\)だもんね。
これは左側の数列×右側の数列になっていて、これが等差数列×等比数列になっているんだ。
今回はこの数列の和を確実に求められるようしていこう。
交差\(\small{ \ d \ }\)の等差数列\(\small{ \ a_n \ }\)と公比\(\small{ \ r \ }\)の等比数列\(\small{ \ b_n \ }\)の積の和
\mathrm{S}_n&=&a_1b_1&+&a_2b_2+a_3b_3+\cdots&+&a_nb_n \\
-) r\mathrm{S}_n&=& & &a_1b_2+a_2b_3+\cdots&+&a_{n-1}b_n&+&a_nb_{n+1}\\
\hline
(1-r)\mathrm{S}_n&=&a_1b_1&+&d(b_2+b_3+b_4\cdots&+&b_n)&-&a_nb_{n+1} \\
&=&a_1b_1&+&d\cdot\displaystyle \frac{b_2(r^{n-1}-1)}{r-1}&-&a_nb_{n+1}\end{eqnarray}}\)
特に\(\small{ \ \underbrace{b_2+b_3+b_4\cdots+b_n}_{n-1項} \ }\)の項数に注意。
等比数列に公比をかけてSn-rSnを計算
等差数列×等比数列の和を求めるとき、まずは\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)に公比をかけよう。
\(\small{ \ \mathrm{S}_n-r\mathrm{S}_n \ }\)を計算するんだけど、このポイントは等比数列に公比をかけると\(\small{ \ b_1 \ }\)が\(\small{ \ b_2 \ }\)に、\(\small{ \ b_2 \ }\)が\(\small{ \ b_3 \ }\)に、\(\small{ \ \cdots \ }\)、\(\small{ \ b_n \ }\)が\(\small{ \ b_{n+1} \ }\)に変わる。
つまり公比をかけることで等比数列の項を全て一つずらすことになるんだ。
すると下のように\(\small{ \ r\mathrm{S}_n \ }\)の各項を一つ右にずらすと等比数列の項が上下で同じになるから、\(\small{ \ r\mathrm{S}_n \ }\)を\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)から引くことで交差でくくった部分が等比数列の和になるから、その和を求めて\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を導き出そう。
\mathrm{S}_n&=&a_1b_1&+&a_2b_2+a_3b_3+\cdots&+&a_nb_n \\
-) r\mathrm{S}_n&=& & &a_1b_2+a_2b_3+\cdots&+&a_{n-1}b_n&+&a_nb_{n+1}\\
\hline
(1-r)\mathrm{S}_n&=&a_1b_1&+&d(b_2+b_3+b_4\cdots&+&b_n)&-&a_nb_{n+1}\end{eqnarray}}\)
ただ、最終的な答えを出すのに、とても計算が複雑になるからミスしないように注意しよう。そして、答えに\(\small{ \ n=1 \ }\)や\(\small{ \ n=2 \ }\)を代入して合っているかチェックも行うようにしよう。
Σ記号を利用した等差数列と等比数列の積の和
問題文が
って書いてあったら等差数列と等比数列の積の和って気づくけど、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)記号で書かれていると答えられない人が多い。
とにかく、この解法が使えるのは等差数列と等比数列の積の和だから、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の後ろに並ぶのは等差数列は\(\small{ \ k \ }\)の一次関数、等比数列は\(\small{ \ k \ }\)の指数関数の形になっていること。
一般的に書くと\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (pk+q)\cdot r^k \ }\)の形。
つまり\(\small{ \ \displaystyle \sum_{k=1 }^{n }(2k-1)2^k \ }\)や\(\small{ \ \displaystyle \sum_{k=1 }^{n }k\cdots2^k \ }\)のような式はすべて等差数列と等比数列の積の和だからね。
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)記号で書いてあってもしっかりと答えられるように知識として身につけておこう。
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n }(3k-2)x^{k-1} \ }\)を求めよ。
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (3k-2)x^{k-1} \ }\)とすると
-)x\mathrm{S}_n&=& & &\hspace{ 4pt }x+4x^2+\cdots&+&(3k-5)x^{n-1}&+&(3n-2)x^n\\
\hline
(1-x)\mathrm{S}_n&=&1&+&3x+3x^2+\cdots&+&3x^{n-1}&-&(3n-2)x^n\\
&=&1&+&\displaystyle \frac{3x(x^{n-1}-1)}{x-1}&-&(3n-2)x^n&&\end{eqnarray} }\)
よって\(\small{ \ x\neq1 \ }\)のとき
\(\small{ \ x=1 \ }\)のとき
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (3k-2)=\displaystyle \frac{1}{2}n(3n-1) \ }\)
を微分して
が導けることも知っておこう。
Point 等差数列と等比数列の積の和
①等比数列に公比をかけてズラして引き算しよう
②出た答えに\(\small{ \ n=1 \ }\)や\(\small{ \ n=2 \ }\)を代入してチェックしよう
自然数\(\small{ \ n \ }\)に対して、\(\small{ \ 3^n-\displaystyle \frac{1}{3^n} \ }\)と\(\small{ \ 3^{n+1}-\displaystyle \frac{1}{3^{n+1}} \ }\)の間にある整数の個数を\(\small{ \ a_n \ }\)とするとき、次の問いに答えよ。
(1\(\small{ \ )a_n \ }\)を\(\small{ \ n \ }\)の式で表せ。
(2)\(\small{ \ \mathrm{S}_n= \displaystyle \frac{1}{a_1}+ \displaystyle \frac{2}{a_2}+ \displaystyle \frac{3}{a_3}+\cdots+ \displaystyle \frac{n}{a_n} \ }\)を求めよ。
(1)\(\small{ \ 0 \lt \displaystyle \frac{1}{3^n} \lt 1 \ }\)、\(\small{ \ 0 \lt \displaystyle \frac{1}{3^{n+1}} \lt 1 \ }\)より、\(\small{ \ a_n=3^{n+1}-1-(3^n-1)=2\cdot3^n \ }\)
(2)
-)\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{S}_n&=&\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\hspace{ 18pt }1\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^2+2\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^3+\cdots+(n-1)\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n+n\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^{n+1}\right\} \\
\hline
\displaystyle \frac{2}{3}\mathrm{S}_n&=&\displaystyle \frac{1}{2}\left\{ \displaystyle \frac{1}{3}+\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^3+\cdots+\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n-n\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^{n+1}\right\}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}\left\{1-\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n\right\}-\displaystyle \frac{1}{2}n\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^{n+1}\end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \therefore \mathrm{S}_n=\displaystyle \frac{3}{8}\left\{1-\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n\right\}-\displaystyle \frac{1}{4}n\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n \ }\)
