こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は直線上の位置ベクトルの表し方について学習していこう。
直線上の位置ベクトル
平面上のベクトルは二つの基準のベクトルと二つの実数\(\small{ \ s、t \ }\)を使って、\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=s \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+t \overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)って表すことができるよね。
これについては「平面ベクトルの基本」でも学習したから、忘れてる人はもう一度確認しておこう。
この\(\small{ \ s、t \ }\)を利用することで、どんなベクトルも表すことが出来るんだけど、直線上の点を表す位置ベクトルは\(\small{ \ s、t \ }\)の二つの実数を使わなくても一つの実数だけで表すことができる。
だから二直線の交点を表すベクトルはそれぞれの直線上にあるベクトルを一つの文字で表して、連立方程式を解くことで求めることができるんだ。
今回はこの解法を利用するための考えた方について深く学習していこう。
基準点を含まない直線と基準点を含む直線
基準点を\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)として、二つの基準のベクトルを\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OA}}, \ \overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)としたとき、基準点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)を通らない直線\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)上の点の位置ベクトルと、基準点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)を結ぶ直線上のベクトルについて考えていこう。
さらに直線\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)上の点の位置ベクトルは点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)を内分する点か外分する点のどちらかになるから別に分けて考えていきます。
基準点を含まない直線上の位置ベクトル(内分)
まずは点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)を内分する点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の位置ベクトルについて考えていこう。
点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)を\(\small{ \ m:n \ }\)に内分する点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)のベクトルは\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP}}= \displaystyle \frac{n \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+ m\overrightarrow{ \mathrm{B} }}{m+n} \ }\)になる。
これは「内分点・外分点の位置ベクトル」でも学習したよね。
このとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{n}{m+n}=s \ }\)とすると\(\small{ \ \displaystyle \frac{m}{m+n}=1- \displaystyle \frac{n}{m+n}=1-s \ }\)になるから\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=s \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+(1-s) \overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)って書くことができるんだ。
さらに\(\small{ \ m, \ n \ }\)は正の整数だから\(\small{ \ s=\displaystyle \frac{n}{m+n} \ }\)は\(\small{ \ 0 \lt s \lt 1 \ }\)だし、\(\small{ \ 0 \lt s \lt 1 \ }\)より\(\small{ \ 0 \lt 1-s \lt 1 \ }\)になるからね。
これは点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)を「\(\small{ \ m:n \ }\)に内分」を「\(\small{ \ s:1-s \ }\)に内分」に置き換えた式で、\(\small{ \ m:n \ }\)は基本的に整数比だけど、\(\small{ \ 0 \lt s \lt 1 \ }\)だから\(\small{ \ s:1-s \ }\)は分数の比になるからね
だから線分\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)上にある点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)は\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=s \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+t \overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)のとき
\(\small{ \ s+t=1 \ }\)、\(\small{ \ 0 \lt s \lt 1 \ }\)、\(\small{ \ 0 \lt t \lt 1 \ }\)になる。
基準点を含まない直線上の位置ベクトル(外分)
次に外分する点について考えてみよう。
点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)を\(\small{ \ m:n \ }\)に外分する点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)のベクトルは
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP}}= \displaystyle \frac{-n \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+ m\overrightarrow{ \mathrm{B} }}{m-n} \ }\)になる。
\(\small{ \ -\displaystyle \frac{n}{m-n}=s \ }\)とすると\(\small{ \ \displaystyle \frac{m}{m-n}=1-\left(-\displaystyle \frac{n}{m-n}\right)=1-s \ }\)になるから
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=s \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+(1-s) \overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)になる。
\(\small{ \ m, \ n \ }\)は正の整数だから\(\small{ \ s=-\displaystyle \frac{n}{m-n} \ }\)は\(\small{ \ m \gt n \ }\)のとき\(\small{ \ s \lt 0 \ }\)になるから\(\small{ \ 1-s \gt 1 \ }\)になるし、\(\small{ \ m \lt n \ }\)のとき\(\small{ \ s \gt 1 \ }\)になるから\(\small{ \ 1-s \gt 0 \ }\)になる。
だから直線\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)上にある点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)は
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=s \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+t \overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)のとき\(\small{ \ s+t=1 \ }\)になる。
このことから
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=s \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+t \overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)のとき
\(\small{ \ s+t=1 \ }\)なら点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)は直線\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)上にある。
\(\small{ \ s\gt0, \ t\gt0 \ }\)なら線分\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)上に、\(\small{ \ s, \ t \ }\)のどちらかが負の場合、外分する位置になる。
基準点を含む直線上の位置ベクトル
基準点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)を結ぶ直線上にある点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の位置ベクトルは定数\(\small{ \ k \ }\)を用いると、\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=k \overrightarrow{ \mathrm{OA} } \ }\)と表すことができる。
図のように\(\small{ \ k \lt 0 \ }\)、\(\small{ \ 0 \lt k \lt 1 \ }\)、\(\small{ \ k \gt 1 \ }\)の値によって点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の位置が変わる。
これはベクトルの実数倍の考えた方と同じだからわかるよね。
伸ばす・縮める・逆に伸縮の三パターンになるから、きちんと押さえておこう。
\(\small{ \ \triangle \mathrm{OAB} \ }\)において、辺\(\small{ \ \mathrm{OB} \ }\)の中点を\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)、辺\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)を\(\small{ \ 1:2 \ }\)に内分する点を\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{OA} \ }\)を\(\small{ \ 2:3 \ }\)に内分する点を\(\small{ \ \mathrm{D} \ }\)、線分\(\small{ \ \mathrm{CM} \ }\)と線分\(\small{ \ \mathrm{BD} \ }\)の交点を\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)とする。
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OA} }= \overrightarrow{ a } \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OB} }= \overrightarrow{ b } \ }\)とする。
(1)\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} } \ }\)を\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OA} }= \overrightarrow{ a } \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OB} }= \overrightarrow{ b } \ }\)を用いて表せ。
(2)直線\(\small{ \ \mathrm{OP} \ }\)と辺\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)の交点を\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)とするとき、\(\small{ \ \mathrm{AQ:QB} \ }\)を求めよ。
(1)点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{BD} \ }\)上にあるから実数\(\small{ \ s \ }\)を使うと
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=s \overrightarrow{ \mathrm{OB} }+(1-s) \overrightarrow{ \mathrm{OD} } \ }\)とおける。
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OD} }= \displaystyle \frac{2}{5}\overrightarrow{ \mathrm{OA} } \ }\)より
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=\displaystyle \frac{2}{5}(1-s) \overrightarrow{ a } +s \overrightarrow{ b }\cdots① \ }\)
また、点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{CM} \ }\)上にあるから実数\(\small{ \ t \ }\)を使うと
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=t \overrightarrow{ \mathrm{OM} }+(1-t) \overrightarrow{ \mathrm{OC} } \ }\)とおける。
\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)は辺\(\small{ \ \mathrm{OB} \ }\)の中点
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OM} }= \displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)は辺\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)を\(\small{ \ 1:2 \ }\)に内分する点より
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OC} }= \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{ \mathrm{OA}}+ \displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{ \mathrm{OB}} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \overrightarrow{ \mathrm{OP} }= \displaystyle \frac{2}{3}(1-t)\overrightarrow{ a }+\left( \displaystyle \frac{1}{3}+ \displaystyle \frac{1}{6}t \right) \overrightarrow{ b }\cdots② \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ a }, \ \overrightarrow{ b } \ }\)は一次独立だから①②より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{2}{5}(1-s)=\displaystyle \frac{2}{3}(1-t)\\
s=\displaystyle \frac{1}{3}+ \displaystyle \frac{1}{6}t
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ s=\displaystyle \frac{1}{9}, \ t=\displaystyle \frac{2}{3} \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=\displaystyle \frac{2}{9} \overrightarrow{ a } +\displaystyle \frac{4}{9} \overrightarrow{ b } \ }\)
(2)点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)は直線\(\small{ \ \mathrm{OP} \ }\)上にあるから実数\(\small{ \ k \ }\)を使うと
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{ \mathrm{OQ} }&=&k\overrightarrow{ \mathrm{OP} }\\
&=&\displaystyle \frac{2}{9}k \overrightarrow{ a } +\displaystyle \frac{4}{9} k\overrightarrow{ b }\cdots① \ \end{eqnarray}}\)
点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)上にあるから実数\(\small{ \ s \ }\)を使うと
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OQ} }=s \overrightarrow{ a }+(1-s) \overrightarrow{ b }\cdots② \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ a }, \ \overrightarrow{ b } \ }\)は一次独立だから①②より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{2}{9}k=s\\
\displaystyle \frac{4}{9}k=1-s
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ k=\displaystyle \frac{3}{2}, \ s=\displaystyle \frac{1}{3} \ }\)
よって\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OQ} }=\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{ a }+\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{ b } \ }\)
よって\(\small{ \ \mathrm{AQ:QB}=2:1 \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ a }, \ \overrightarrow{ b } \ }\)が平行なベクトルだった場合、係数比較できなくなるよね。
平面ベクトルにおける一次独立とは\(\small{ \ \overrightarrow{ a }, \ \overrightarrow{ b } \ }\)が平行でないベクトルってことを示すから、必ず係数比較する場合は一次独立だって書くようにしよう。
Point 直線上の位置ベクトル
①基準点を含まない直線\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)上の点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の位置ベクトルは\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=s \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+(1-s) \overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)
②基準点を含む直線\(\small{ \ \mathrm{OA} \ }\)上の点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の位置ベクトルは\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=k\overrightarrow{ \mathrm{OA} } \ }\)
\(\small{ \ \triangle\mathrm{OAB} \ }\)において、辺\(\small{ \ \mathrm{OA} \ }\)を\(\small{ \ 1:2 \ }\)に内分する点を\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)、辺\(\small{ \ \mathrm{OB} \ }\)を\(\small{ \ 3:1 \ }\)に内分する点を\(\small{ \ \mathrm{D} \ }\)とする。また、線分\(\small{ \ \mathrm{BC} \ }\)の\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)をこえる延長上に\(\small{ \ \mathrm{BC=CL} \ }\)となる点\(\small{ \ \mathrm{L} \ }\)をとり、直線\(\small{ \ \mathrm{LO} \ }\)と直線\(\small{ \ \mathrm{AD} \ }\)の交点を\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)とする。
このとき\(\small{ \ \mathrm{AD:DM} \ }\)の値を求めよ。
点\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)は直線\(\small{ \ \mathrm{AD} \ }\)上にあるので、実数\(\small{ \ s \ }\)を用いると
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{OM}}&=&s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OD}}\\
&=&s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\displaystyle\frac{3}{4}(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdots① \ \end{eqnarray}}\)
とおける。
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{OL}}&=&\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CL}}\\
&=&\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}\\
&=&2\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\
&=&\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \end{eqnarray}}\)
点\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)は直線\(\small{ \ \mathrm{OL} \ }\)上にあるので、実数\(\small{ \ k \ }\)を用いると
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{OM}}&=&k\overrightarrow{\mathrm{OL}}\\
&=&\displaystyle\frac{2}{3}k\overrightarrow{\mathrm{OA}}-k\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdots② \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)は一次独立だから\(\small{ \ ①, \ ② \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
s=\displaystyle\frac{2}{3}k\\
\displaystyle\frac{3}{4}(1-s)=-k
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ s=-1, \ k=-\displaystyle\frac{3}{2} \ }\)
よって
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OM}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OD}} \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{AD:DM}=1:1 \ }\)
