こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は和積の公式と積和の公式の求め方について学習していこう。
目次[表示]
和積の公式と積和の公式
・和積の公式
sinA+sinB=2sinA+B2cosA−B2 sinA+sinB=2sinA+B2cosA−B2
sinA−sinB=2cosA+B2sinA−B2 sinA−sinB=2cosA+B2sinA−B2
cosA+cosB=2cosA+B2cosA−B2 cosA+cosB=2cosA+B2cosA−B2
cosA−cosB=−2sinA+B2sinA−B2 cosA−cosB=−2sinA+B2sinA−B2
・積和の公式
sinαcosβ=12{sin(α+β)+sin(α−β)} sinαcosβ=12{sin(α+β)+sin(α−β)}
cosαsinβ=12{sin(α+β)−sin(α−β)} cosαsinβ=12{sin(α+β)−sin(α−β)}
cosαcosβ=12{cos(α+β)+cos(α−β)} cosαcosβ=12{cos(α+β)+cos(α−β)}
sinαsinβ=−12{cos(α+β)−cos(α−β)} sinαsinβ=−12{cos(α+β)−cos(α−β)}
公式を求めるための準備:加法定理の利用
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ+) sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβsin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ⋯①
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−) sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβsin(α+β)−sin(α−β)=2cosαsinβ⋯②
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ+) cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ⋯③
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ−) cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ⋯④
和積の公式の求め方
α+β=A 、 α−β=B とする。
{α+β=Aα−β=B
これを解いて α=A+B2, β=A−B2
これを上で求めた①〜④の式に代入すると
sinA+sinB=2sinA+B2cosA−B2
sinA−sinB=2cosA+B2sinA−B2
cosA+cosB=2cosA+B2cosA−B2
cosA−cosB=−2sinA+B2sinA−B2

積和の公式の求め方
上で求めた①〜④の式の両辺を 2 で割る。
sinαcosβ=12{sin(α+β)+sin(α−β)}
cosαsinβ=12{sin(α+β)−sin(α−β)}
cosαcosβ=12{cos(α+β)+cos(α−β)}
sinαsinβ=−12{cos(α+β)−cos(α−β)}

だから公式を覚えたつもりでも、滅多に使うことがないからいつの間にかプラスやマイナスがあやふやになって、きちんと覚えられていないって人も多い。
だから公式を暗記するだけじゃなく、この加法定理を利用した求め方もきちんと覚えておこう。