円の方程式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は円の方程式について学習していこう。

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円の方程式は2パターン

円って、ある点から等しい距離にある点の集合だよね。ある点を\(\small{ \ (a,b) \ }\)、円周上の点を\(\small{ \ (x,y) \ }\)とし、この二点の距離を\(\small{ \ r \ }\)とすると、\(\small{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r \ }\)の式が成り立つ。これを二乗したものが、円の方程式になる。さらにこの式を展開して、文字を置き換えて整理したものが \(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)となり、一般形と呼ばれる。ただし、\(\small{l^2+m^2-4n\gt0 \ }\)じゃないと円の方程式にはならないから気をつけよう。

円の方程式

・平方形  中心\(\small{ \ (a,b) \ }\)・半径\(\small{ \ r \ }\)
  \(\small{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)
・一般形
  \(\small{x^2+y^2+lx+my+n=0}\)

円の方程式は中心と半径で表される平方形と、平方形を展開した一般形の二通りの表し方があるから、問題によって使い分けていくことが重要だ。それぞれいつ使うのか、パターンをしっかりと理解しよう。

円の方程式の成立条件

\(\small{x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)だからといって円の方程式とは言えない。\(\small{l^2+m^2-4n\gt0 \ }\)を満たして初めて円の方程式って言えるからね。それは\(\small{ \ (x-a)^2+(y-b)^2=R \ }\)の\(\small{ \ R \ }\)が\(\small{ \ 0 \ }\)以下の数だと半径が存在しないことになるから円にならないよね。つまり\(\small{ \ x^2 \ }\)や\(\small{ \ y^2 \ }\)の項があるからといって円だってことにはならないから注意しよう。

例題を確認
問題解答

次の方程式はどのような図形を表すか答えなさい。
(1)\(\small{x^2+y^2-6x-4y+12=0}\)
(2)\(\small{x^2+y^2-6x-4y+13=0}\)
(3)\(\small{x^2+y^2-6x-4y+14=0}\)

(1) \(\small{x^2+y^2-6x-4y+12=0}\)
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=1}\)より
中心\(\small{(3,2)}\)、半径\(\small{1}\)の円

(2) \(\small{x^2+y^2-6x-4y+13=0}\)
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=0}\)より
平面上にある点\(\small{(3,2)}\)

(3) \(\small{x^2+y^2-6x-4y+14=0}\)
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=-1}\)
(左辺)>\(\small{0 \ }\)、(右辺)\(\small{=-1 \ }\)より
与えられた式を満たす点は存在しない。

円の方程式-01

point
問題文が一般形で与えられているから、\(\small{l^2+m^2-4n \ }\)を計算すると円になるか確認することは出来るけど、中心や半径がわからないから平方形にして確認した方がいいよね。今回は小問だから\(\small{ \ l^2+m^2-4n \ }\)を計算してもいいけど、大問の中で出題されたら、どうせ中心と半径求めることになるだろうから二度手間だもんね。平方形のとき、半径を示す右辺が正の数だと円、\(\small{ \ 0 \ }\)だと点、負の数だと存在しないってことになるからね。

Point

①円の成立条件に注意しよう
②基本的には平方形を利用して円の中心、半径を求めよう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

方程式\(\small{ \ x^2+y^2+2kx-4ky+10k-20=0 \ }\)の表す図形\(\small{ \ C \ }\)について考える。ただし、\(\small{ \ k \ }\)は実数とする。
(1)図形\(\small{ \ C \ }\)は円であることを示せ。
(2)\(\small{ \ k \ }\)はどのような値であっても定点を通る。その定点の座標を求めよ。
(3)図形\(\small{ \ C \ }\)で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ。

(1)図形\(\small{ \ C \ }\)の方程式を変形すると、
\(\small{ \ (x+k)^2+(y-2k)^2=5k^2-10k+20 \ }\)
ここで
\(\small{ \ 5k^2-10k+20=5(k-1)^2+15 \gt 0 \ }\)
よって図形\(\small{ \ C \ }\)は中心\(\small{ \ (-k、2k) \ }\)、半径\(\small{ \ \sqrt{5k^2-10k+20} \ }\)の円である。

(2)図形\(\small{ \ C \ }\)の方程式を\(\small{ \ k \ }\)について整理すると
\(\small{ \ x^2+y^2-20+k(2x-4k+10)=0 \ }\)
これが\(\small{ \ k \ }\)についての恒等式になればよいので
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-20=0\cdots①\\
2x-4k+10=0\cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{②}\)より\(\small{ \ x=2y-5 \ }\)
これを\(\small{①}\)に代入して、\(\small{ \ (2y-5)^2+y^2=20 \ }\)
\(\small{ \ y^2-4y+1=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore y=2\pm \sqrt{3} \ }\)
このとき\(\small{ \ x=2(2\pm \sqrt{3})-5 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=-1\pm \sqrt{3} \ }\)
よって求める座標は
\(\small{ \ (-1+ \sqrt{3}、2+ \sqrt{3})、(-1- \sqrt{3}、2- \sqrt{3}) \ }\)

(3)(1)より半径が最小になるのは\(\small{ \ k=1 \ }\)のときで\(\small{ \ r=\sqrt{15} \ }\)
よって求める面積は\(\small{ \ \pi r^2=15\pi \ }\)

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  数学II, 図形と方程式