2次方程式の解き方

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は2次方程式の解き方について学習していこう。

スポンサードリンク

2次方程式の解き方

2次方程式の解き方は基本的に2パターンで、因数分解と解の公式を利用する方法なんだけど、常に解の公式を利用すれば答えは出せるけど、できるだけ因数分解出来ないか考えるようにしよう。因数分解できるのに解の公式を使うと時間もかかるし、ミスを増やすことになるからね。因数分解って高校生の間は何度も何度もすることだから、すぐに解の公式を使うんじゃなくて因数分解出来ないか考えてからにしよう。

2次方程式の解き方

\(\small{ \ ax^2+bx+c=0 \ }\)
・解の公式
\(\small{ \ x= \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ }\)
・因数分解
\(\small{ \ (x-\alpha)(x-\beta)=0 \ }\)や\(\small{ \ (ax+b)(cx+d)=0 \ }\)に変形

基本は因数分解

はじめに伝えたように解の公式は常に利用できるから、すぐに使いたくなると思うけど、それじゃダメなんだ。いつまでも解の公式を利用してるだけじゃ成績は伸びていかないよ。数学は問題を多く解くことで成績が伸びる科目だから、因数分解を素早くできる人を見ると直感的にこれは因数分解できるって気付いて因数分解しているように見えるけど、実際はそうじゃなくて何度も訓練した結果、因数分解できることに気付けるようになるから、因数分解が早くできる人ほど数学が得意っていえるんだ。もちろん因数分解だけ特訓しても数学が得意ってことにはならないけど、一事が万事で因数分解に素早く気付くことは大切な事だと思って欲しい。

例題を確認
問題解答

次の二次方程式を解け。
(1)\(\small{ \ 2x^2+11x+12=0 \ }\)
(2)\(\small{ \ x^2-2x-2=0 \ }\)
(3)\(\small{ \ 2x^2+x-3=0 \ }\)

(1)\(\small{ \ 2x^2+11x+12=0 \ }\)
\(\small{ \ (2x+3)(x+4)=0 \ }\)
\(\small{ \ x=-4, \ -\displaystyle \frac{3}{2} \ }\)

(2)\(\small{ \ x^2-2x-2=0 \ }\)
\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{2^2-4\cdot(-2)}}{2}\\
=1\pm \sqrt{3} \ }\)

(3)\(\small{ \ 2x^2+x-3=0 \ }\)
\(\small{ \ (2x+3)(x-1)=0 \ }\)
\(\small{ \ x=1, \ -\displaystyle \frac{3}{2} \ }\)

point
\(\small{ \ x \ }\)の1次の係数が偶数の場合は
\(\small{ \ ax^2+2b'x+c=0 \ }\)とすると
\(\small{ \begin{eqnarray}\ x&=&\displaystyle \frac{-2b'\pm \sqrt{(-2b')^2-4ac} }{2a}\\
&=&\displaystyle \frac{-b'\pm \sqrt{b'^2-ac}}{a} \ \end{eqnarray}}\)
って簡単にすることもできる。でも実際は使わなくても多少計算が増えるぐらいだから大して問題ないよ。使ってミスするぐらいなら使わない方がいいからね。

Point

①まずは因数分解できないか考えよう
②因数分解できなかったら解の公式を利用しよう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

次の方程式を解け。
\(\small{ \ (a^2-4)x^2-(a^2+2a)x+(a+2)=0 \ }\)

方程式を因数分解して

\(\small{ \ (a^2-4)x^2-(a^2+2a)x+2(a+2)=0 \ }\)
\(\small{ \ (a+2)(a-2)x^2-a(a+2)x+2(a+2)=0 \ }\)
\(\small{ \ (a+2)\left\{(a-2)x^2-ax+2\right\}=0 \ }\)

(i)\(\small{ \ a+2=0 \ }\)つまり\(\small{ \ a=-2 \ }\)のとき
左辺は常に\(\small{ \ 0 \ }\)になるので\(\small{ \ x \ }\)はすべての実数
(ii)\(\small{ \ a+2 \neq 0 \ }\)つまり\(\small{ \ a \neq -2 \ }\)のとき
ア)\(\small{ \ a-2=0 \ }\)つまり\(\small{ \ a=2 \ }\)のとき
\(\small{ \ -2x+2=0 \ }\)\(\small{ \ \therefore x=1\ }\)
イ)\(\small{ \ a-2\neq 0 \ }\)つまり\(\small{ \ a\neq2 \ }\)のとき
\(\small{ \ (a-2)x^2-ax+2=0 \ }\)
\(\small{ \ \left\{(a-2)x-2\right\}(x-1)=0 \ }\)
\(\small{ \ x=1, \ \displaystyle \frac{2}{a-2} \ }\)

point
「2次方程式\(\small{ \ ax^2+bx+c=0 \ }\)」は\(\small{ \ a\neq0 \ }\)だから、単純に解の公式を利用できるけど、「方程式\(\small{ \ ax^2+bx+c=0 \ }\)」は\(\small{ \ a\neq0 \ }\)とは限らないから場合分けが必要になるから覚えておこう。でも解の公式を見てもわかるけど、分数は分母が0になったらダメだから分母が文字の場合は場合分けが必要になるのに気付くよね。問題文で気付かなくても、解を求めたときに気付いけば大丈夫だから、分母が文字の場合はいつも気をつけておこう。

この記事が気に入ったら
いいね ! しよう

Twitter で

  数学I, 二次関数

  , ,