三角比の方程式と不等式(2次式への変形)

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角比の方程式と不等式(二次式への変形)について学習していこう。

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三角比の方程式不等式を二次方程式・二次不等式に変形

基本的な三角比の方程式・不等式は『三角比の方程式と不等式(基本)』で学習した形になるけど、今回学習するのはそれを一歩進めた二次式の三角比の方程式と不等式になる。今回学習する形はよく出題される形だからきちんと学習して解けるようにしておこう。

二次式の三角比の方程式・不等式

・二次方程式への変形
\(\small{ \ \sin^2 \theta+\sin \theta-2=0 \ }\)

・二次不等式への変形
\(\small{ \ \cos^2 \theta+\sin \theta+2 \leqq 0 \ }\)

\(\small{ \ \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1 \ }\)より一次の文字に注目する

三角比と二次方程式・不等式

与えられた問題からどの文字についての二次式にすればいいのか考えることが一番重要だよね。\(\small{ \ \sin^2 \theta \ }\)や\(\small{ \ \cos^2 \theta \ }\)は\(\small{ \ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1 \ }\)の相互関係から、\(\small{ \ \sin^2 \theta =1- \cos^2 \theta \ }\)とかに変形することができるから\(\small{ \ \sin \theta \ }\)や\(\small{ \ \cos \theta \ }\)の一次の項に注目してどっちの文字を置換するのか決定しよう。

\(\small{ \ \tan \theta \ }\)の式は\(\small{ \ \tan \theta \ }\)以外の三角比の式は使われていないからそのまま\(\small{ \ \tan \theta \ }\)についての二次式にすればいいよね。

置換と範囲

\(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)のとき、
\(\small{ \ \sin \theta \ }\)の範囲は\(\small{ \ 0 \leqq \sin \theta \leqq 1 \ }\)になるし、
\(\small{ \ \cos \theta \ }\)の範囲は\(\small{ \ -1 \leqq \cos \theta \leqq 1 \ }\)になるし、
\(\small{ \ \tan \theta \ }\)の範囲は全ての実数になるから、
問題を解いた答えの値が、その範囲に入っているか必ず考えよう

今回はわざわざ\(\small{ \ \sin \theta=t \ }\)のように置換してないけど、実際置換して解いてるのと同じことになるから置換した文字の範囲に注意しよう。この分野に限らず高校数学では置換したら範囲が必ず変わると思ってていいからね

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)のとき次の方程式、不等式を解け。
(1)\(\small{ \ 4\sin^2 \theta -4\cos \theta-1=0 \ }\)
(2)\(\small{ \ 2\cos^2\theta+3\sin \theta -3\geqq 0 \ }\)
(3)\(\small{ \ \sqrt{3}\tan^2 \theta +(\sqrt{3}-1)\tan \theta -1\leqq 0 \ }\)

(1)\(\small{ \ 4\sin^2 \theta -4\cos \theta-1=0 \ }\)
\(\small{ \ 4(1-\cos^2 \theta)-4\cos \theta -1=0 \ }\)
\(\small{ \ 4\cos^2 \theta +4\cos \theta -3=0 \ }\)
\(\small{ \ (2\cos \theta-1)(2\cos\theta+3)=0 \ }\)
\(\small{ \ \cos \theta =\displaystyle \frac{1}{2}, \ -\displaystyle \frac{3}{2} \ }\)
\(\small{ \ -1 \leqq \cos \theta \leqq 1 \ }\)より
\(\small{ \ \cos \theta =\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \theta =60^{\circ} \ }\)

(2)\(\small{ \ 2\cos^2\theta+3\sin \theta -3\geqq 0 \ }\)
\(\small{ \ 2(1-\sin^2 \theta)+3\sin\theta-3\geqq 0 \ }\)
\(\small{ \ 2\sin^2\theta-3\sin\theta+1\leqq 0 \ }\)
\(\small{ \ (2\sin\theta-1)(\sin\theta-1)\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2}\leqq \sin \theta \leqq 1 \ }\)
\(\small{ \ 30^{\circ}\leqq \theta \leqq 150^{\circ} \ }\)

(3)\(\small{ \ \sqrt{3}\tan^2 \theta+ (\sqrt{3}-1)\tan \theta -1\leqq 0 \ }\)
\(\small{ \ (\tan \theta +1)(\sqrt{3}\tan \theta-1)\leqq 0 \ }\)
\(\small{ \ -1\leqq \tan \theta \leqq \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \ }\)
\(\small{ \ 0^{\circ}\leqq \theta \leqq 30^{\circ}, \ 135^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)

point
結局二次方程式・不等式を解くと、三角比の方程式と不等式(基本)の形になるから、この形がきちんと解けていない人はもう一度必ず復習しておこう。
また、角度を求める問題の場合、三角比が有名角の値にならないととけないよね。有名角じゃない場合、問題文は「\(\small{ \ \sin \theta \ }\)を求めよ。」ってなるからね。

Point 三角比の方程式と不等式(二次式への変形)

①二次式があったら二次方程式・不等式に変形しよう
②最後は三角比の方程式・不等式の基本の形で答えを導こう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ 2\sin^2x-\sin x-a=0 \ }\)の解を判別せよ。

\(\small{ \ 2\sin^2x-\sin x=a \ }\)
\(\small{ \ \sin x=t \ }\)とすると\(\small{ \ (0\leqq t \leqq 1) \ }\)
\(\small{ \ 2t^2-t=a \ }\)より
\(\small{ \  y=2t^2-t(0\leqq t \leqq 1) \ }\)と\(\small{ \ y=a \ }\)の交点の数について考える
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&2t^2-t\\
&=&2\left(t-\displaystyle \frac{1}{4}\right)^2-\displaystyle \frac{1}{8} \ \end{eqnarray}}\)

よってグラフより
\(\small{ \ x \ }\)は\(\small{ \ 0 \leqq \sin x \lt 1  \ }\)の範囲で解を二つ持つことに注意すると
\(\small{ \ a \gt 1 \ }\)のとき解なし
\(\small{ \ a=1 \ }\)のとき解\(\small{ \ 1 \ }\)個
\(\small{ \ 0 \lt a \lt 1 \ }\)のとき解\(\small{ \ 2 \ }\)個
\(\small{ \ -\displaystyle\frac{1}{8} \lt a \leqq 0  \ }\)のとき解\(\small{ \ 4 \ }\)個
\(\small{ \ a=-\displaystyle\frac{1}{8} \ }\)のとき解\(\small{ \ 2 \ }\)個
\(\small{ \ a \lt -\displaystyle\frac{1}{8} \ }\)のとき解なし

三角比の方程式と不等式(2次式への変形)-01

さらにもう1問入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答1-数学I解答2-数学Ⅱ

\(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)で\(\small{ \ \sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)のとき、\(\small{ \ \tan\theta\ }\)の値を求めよ。

\(\small{ \ \sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)より
\(\small{ \ \cos\theta=\displaystyle\frac{1}{2}-\sin\theta \ }\)を\(\small{ \ \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1 \ }\)に代入して
\(\small{ \ \sin^2 \theta+\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\sin\theta \right)^2=1 \ }\)
これを整理して
\(\small{ \ 8\sin^2 \theta-4\sin\theta-3=0 \ }\)
\(\small{ \ \sin\theta=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{7}}{4} \ }\)
\(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)から\(\small{ \ \sin\theta \geqq 0 \ }\)より
\(\small{ \ \sin\theta=\displaystyle\frac{1+\sqrt{7}}{4} \ }\)
\(\small{ \ \cos\theta=\displaystyle\frac{1}{2}-\sin\theta=\displaystyle\frac{1-\sqrt{7}}{4} \ }\)
よって\(\small{ \ \tan\theta=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1+\sqrt{7}}{4}}{\displaystyle\frac{1-\sqrt{7}}{4}}=-\displaystyle\frac{4+\sqrt{7}}{3} \ }\)

\(\small{ \ \sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)より、両辺\(\small{ \ 2 \ }\)乗すると
\(\small{ \ \left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2 \ }\)
\(\small{ \ 1+2\sin\theta\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)
\(\small{ \ \sin\theta\cos\theta=-\displaystyle\frac{3}{8} \ }\)
ここで解と係数の関係を用いると
\(\small{ \ t^2-\displaystyle\frac{1}{2}t-\displaystyle\frac{3}{8}=0 \ }\)の解は\(\small{ \ \sin\theta \ }\)と\(\small{ \ \cos\theta \ }\)になるので、これを解くと
\(\small{ \ 8t^2-4t-3=0 \ }\)
\(\small{ \ t=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{7}}{4} \ }\)
\(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)と\(\small{ \ \sin\theta\cos\theta=-\displaystyle\frac{3}{8} \ }\)より
\(\small{ \ \sin\theta=\displaystyle\frac{1+\sqrt{7}}{4} \ }\)、\(\small{ \ \cos\theta=\displaystyle\frac{1-\sqrt{7}}{4} \ }\)
よって\(\small{ \ \tan\theta=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1+\sqrt{7}}{4}}{\displaystyle\frac{1-\sqrt{7}}{4}}=-\displaystyle\frac{4+\sqrt{7}}{3} \ }\)

point
二次式がなくても\(\small{ \ \sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1 \ }\)から二次式を作ることが出来るから\(\small{ \ \sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1 \ }\)を忘れずに利用しよう。受験生にとっては対称式は解と係数の関係に利用できることも定番の解き方だから忘れずにいよう。

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