正弦定理の基本

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は正弦定理について学習していこう。

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正弦定理と外接円

正弦定理は\(\small{ \ \sin \ }\)(正弦)を利用した公式で三角形の辺と外接円の半径を利用した式で、角とその対辺の比が一定の値になるんだ。

正弦定理

\(\normalsize{ \ \displaystyle \frac{a}{\sin\mathrm{A}}=\displaystyle \frac{b}{\sin\mathrm{B}}=\displaystyle \frac{c}{\sin\mathrm{C}}=2\mathrm{R} \ }\)

 \(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)は\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)の外接円の半径

正弦定理の基本-01

正弦定理の証明も確認しておこう。

正弦と外接円

三角形の外接円が出てくる唯一の公式だから、外接円について問われたら正弦定理を考えよう。

また、外接円の半径を利用することで、\(\small{ \ \sin\mathrm{A}=\displaystyle \frac{a}{2R} \ }\)ってなるから、正弦を辺(長さ)だけで表すこともできるからね。

正弦と辺の長さの比

\(\small{ \ \displaystyle \frac{a}{\sin\mathrm{A}}=\displaystyle \frac{b}{\sin\mathrm{B}}=\displaystyle \frac{c}{\sin\mathrm{C}} \ }\)は、\(\small{ \ a:b:c=\sin\mathrm{A}:\sin\mathrm{B}:\sin\mathrm{C} \ }\)って書くこともできるよね。つまり正弦の比が辺の長さの比になってるんだ。
\(\small{ \ \sin\mathrm{A}:\sin\mathrm{B}:\sin\mathrm{C}=\displaystyle \frac{a}{2R}:\displaystyle \frac{b}{2R}:\displaystyle \frac{c}{2R} \ }\)とも書けるから辺の比になっているのがわかるよね。このことも頭に入れておこう。

例題を確認
問題解答

三角形の外接円の半径が\(\small{ \ 4 \ }\)、辺 \(\small{ \ \mathrm{BC}=4 \ }\)のとき、\(\small{ \ \angle\mathrm{A} \ }\)を求めよ。

\(\small{\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\sin\mathrm{A}}=2R \ }\)より
\(\small{ \ \sin\mathrm{A}=\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \angle\mathrm{A}=30^{\circ}, \ 150^{\circ} \ }\)

正弦定理の基本-02

point
この例題からも分かるように円に内接する四角形の対角の和は180度になる。補角の関係式からもわかるように\(\small{ \ \sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta \ }\)になるからどちらの角度も今回の問題の題意を満たすよね。
ただし、他の辺の長さが与えられているときは他の辺の長さにも注意しよう。当然一番長い辺の対角が一番大きい角になるからね。

Point

①外接円の半径は正弦定理を利用しよう
②角とその対辺の比や外接円の半径から他の値を導こう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

平面上で、半径\(\small{ \ r_1 \ }\)の円\(\small{ \ C_1 \ }\)と半径\(\small{ \ r_2 \ }\)の円\(\small{ \ C_2 \ }\)が異なる\(\small{ \ 2 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{P}}\)、\(\small{\mathrm{Q} \ }\)で交わっているとする。線分\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)の垂直二等分線を\(\small{ \ l \ }\)として、円\(\small{ \ C_1 \ }\)と\(\small{ \ l \ }\)の交点のうち円\(\small{ \ C_2 \ }\)の内部にある点を\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)、円\(\small{ \ C_2 \ }\)と\(\small{ \ l \ }\)の交点のうち円\(\small{ \ C_1 \ }\)の外部にある点を\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)とする。
(1)\(\small{ \ \angle\mathrm{PRQ}=\displaystyle \frac{\pi}{2} \ }\)、\(\small{ \ \angle\mathrm{PSQ}=30^{\circ} \ }\)のとき、\(\small{ \ \displaystyle\frac{r_2}{r_1} \ }\)を求めよ。
(2)\(\small{ \ \angle\mathrm{PRQ}=60^{\circ} \ }\)、\(\small{ \ \angle\mathrm{PSQ}=45^{\circ} \ }\)のとき、\(\small{ \ \displaystyle\frac{r_2}{r_1} \ }\)を求めよ。
(3)\(\small{ \ \angle\mathrm{PRQ}=\theta_1 \ }\)、\(\small{ \ \angle\mathrm{PSQ}=\theta_2 \ }\)のとき、\(\small{ \ \displaystyle\frac{r_2}{r_1} \ }\)を\(\small{ \ \theta_1 \ }\)と\(\small{ \ \theta_2 \ }\)を用いて表せ。

(1)\(\small{ \ \angle\mathrm{PRQ}=90^{\circ} \ }\)より\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)は円\(\small{ \ C_1 \ }\)の直径である
\(\small{ \ \triangle \mathrm{PSQ} \ }\)で正弦定理を利用すると
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\mathrm{PQ}}{\sin30^{\circ}}=2r_2 \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{PQ}=2r_1 \ }\)を代入して
\(\small{ \ \therefore \displaystyle\frac{r_2}{r_1}=2 \ }\)

正弦定理の基本-03-01

(2)\(\small{ \ \triangle \mathrm{PRQ} \ }\)で正弦定理を利用すると
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\mathrm{PQ}}{\sin60^{\circ}}=2r_1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore r_1=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\mathrm{PQ} \ }\)
\(\small{ \ \triangle \mathrm{PSQ} \ }\)で正弦定理を利用すると
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\mathrm{PQ}}{\sin45^{\circ}}=2r_2 \ }\)
\(\small{ \ \therefore r_2=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{PQ} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle\frac{r_2}{r_1}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{PQ}}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\mathrm{PQ}}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2} \ }\)

正弦定理の基本-03-02

(3)\(\small{ \ \triangle \mathrm{PRQ} \ }\)で正弦定理を利用すると
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\mathrm{PQ}}{\sin \theta_1}=2r_1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore r_1=\displaystyle\frac{\mathrm{PQ}}{2\sin\theta_1} \ }\)
\(\small{ \ \triangle \mathrm{PSQ} \ }\)で正弦定理を利用すると
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\mathrm{PQ}}{\sin\theta_2}=2r_2 \ }\)
\(\small{ \ \therefore r_2=\displaystyle\frac{\mathrm{PQ}}{2\sin\theta_2} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle\frac{r_2}{r_1}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\mathrm{PQ}}{2\sin\theta_2}}{\displaystyle\frac{\mathrm{PQ}}{2\sin\theta_1}}=\displaystyle\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} \ }\)

正弦定理の基本-03-03

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