三角方程式・三角不等式と領域

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角方程式・三角不等式と領域について学習していこう。

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三角関数を含む方程式不等式と領域

本来領域は数学Ⅱの「不等式と領域」で学習する範囲だけど、三角関数でも領域を図示する問題ってあるんだ。

三角関数が試験範囲の中間テストや期末テストにはそう出題されることはないかもしれないけど、実力テストや入試には出題されるから確実に押さえておこう。

その前にまずは「不等式と領域」を再度確認しておこう。

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三角関数を含む方程式不等式と領域
不等式と領域の図示-01
三角方程式・三角不等式と領域-00

図示の問題

「次の条件を満たす点\(\small{ \ \left(x, \ y\right) \ }\)を図示せよ。」って問題があるよね。

図示せよってことで図を書くことに注目しがちだけど、図を書く前に\(\small{ \ x, \ y \ }\)の関係式を求めることが重要なんだ。

\(\small{ \ x, \ y \ }\)の関係式が等式なら円や直線、放物線といった図形になるし、関係式が不等式なら領域になるからね。

つまり図示せよって問題は関係式を求めよって言ってるのと同じだからね。

和積の公式と方程式不等式

以前学習した和積の公式の方程式不等式の解き方では\(\small{ \ x=\pi \ }\)のように\(\small{ \ x \ }\)の値を求めるものだったけど、今回は\(\small{ \ x \ }\)だけじゃなくて\(\small{ \ y \ }\)も含めた方程式不等式になっているから\(\small{ \ x+y=\pi \ }\)のような関係式ができる。

この関係式を図示すればいいんだ。

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定義域の確認

和積の公式を利用したときに\(\small{ \ \sin\left(x+y\right) \ }\)のように偏角に\(\small{ \ x+y \ }\)のような値が出てくる。\(\small{ \ x, \ y \ }\)に定義域がなかったら\(\small{ \ x+y \ }\)にも定義域はないけど、\(\small{ \ x, \ y \ }\)に定義域があったらどうなるか考えてみよう。

\(\small{ \ 0\leqq x \leqq \pi \ }\)、\(\small{ \ 0\leqq y \leqq \pi \ }\)のとき
\(\small{ \ x+y \ }\)の定義域は\(\small{ \ 0\leqq x+y \leqq 2\pi \ }\)になる。これは\(\small{ \ x, \ y \ }\)ともに最小値のとき最小値になって、\(\small{ \ x, \ y \ }\)ともに最大値のとき最大値になるからなんだ。

\(\small{ \ x-y \ }\)の定義域は\(\small{ \ -\pi\leqq x-y \leqq \pi \ }\)になる。これは\(\small{ \ x \ }\)が最小値で\(\small{ \ y \ }\)が最大値のとき最小値になって、\(\small{ \ x \ }\)が最大値で\(\small{ \ y \ }\)が最小値のとき最大値になるからなんだ。

つまり和の場合は最小値同士・最大値同士を足せばいいし、差の場合は最大値と最小値・最小値と最大値を引けばいいんだ。

ただこれは\(\small{ \ x, \ y \ }\)に関係式がない場合ね。問題文の前提に\(\small{ \ x+2y=\pi \ }\)のような\(\small{ \ x, \ y \ }\)の関係式があったらこれは言えないからね。

関係式があったら\(\small{ \ y=-\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{\pi}{2} \ }\)と\(\small{ \ y \ }\)の定義域\(\small{ \ 0\leqq y \leqq \pi \ }\)を合わせて\(\small{ \ 0\leqq-\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{\pi}{2}\leqq \pi \ }\)から\(\small{ \ x \ }\)の定義域を求めよう。
問題文に\(\small{ \ x, \ y \ }\)の関係式があったら、二つの変数は一つの変数に変えることができるからね。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0\leqq x \leqq 2\pi \ }\),\(\small{ \ 0\leqq y \leqq 2\pi \ }\)のとき、次の条件を満たす点\(\small{ \ \left(x, \ y\right) \ }\)を図示せよ。
(1)\(\small{ \ \cos2x+\cos2y=\cos\left(x+y\right) \ }\)
(2)\(\small{ \ \sin x+\sin y \leqq 0 \ }\)

(1)
\(\small{ \ \cos2x+\cos2y=\cos\left(x+y\right) \ }\)
\(\small{ \ 2\cos\left(x+y\right)\cos\left(x-y\right)=\cos\left(x+y\right) \ }\)
\(\small{ \ \cos\left(x+y\right)\left\{2\cos\left(x-y\right)-1\right\}=0 \ }\)
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\cos\left(x+y\right)=0\\
\cos\left(x-y\right)=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
ここで\(\small{ \ 0\leqq x \leqq 2\pi \ }\),\(\small{ \ 0\leqq y \leqq 2\pi \ }\)より
\(\small{ \ 0\leqq x+y \leqq 4\pi \ }\)、\(\small{ \ -2\pi \leqq x-y \leqq 2\pi \ }\)
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x+y=\displaystyle\frac{\pi}{2}, \ \displaystyle\frac{3}{2}\pi, \ \displaystyle\frac{5}{2}\pi, \ \displaystyle\frac{7}{2}\pi\\
x-y=-\displaystyle\frac{5}{3}\pi, \ -\displaystyle\frac{\pi}{3}, \ \displaystyle\frac{\pi}{3}, \ \displaystyle\frac{5}{3}\pi
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

\(\small{ \ \begin{eqnarray}
y
=
\begin{cases}
-x+\displaystyle\frac{\pi}{2} \\
-x+\displaystyle\frac{3}{2}\pi\\
-x+\displaystyle\frac{5}{2}\pi\\
-x+\displaystyle\frac{7}{2}\pi\\
x-\displaystyle\frac{5}{3}\pi\\
x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
x+\displaystyle\frac{5}{3}\pi\\
\end{cases}
\end{eqnarray} \ }\)

三角方程式・三角不等式と領域-01

(2)
\(\small{ \ \sin x+\sin y \leqq 0 \ }\)
\(\small{ \ 2\sin\displaystyle\frac{x+y}{2}\cos\displaystyle\frac{x-y}{2}\leqq 0 \ }\)
ここで\(\small{ \ 0\leqq x \leqq 2\pi \ }\),\(\small{ \ 0\leqq y \leqq 2\pi \ }\)より
\(\small{ \ 0\leqq \displaystyle\frac{x+y}{2} \leqq 2\pi \ }\)、\(\small{ \ -\pi \leqq \displaystyle\frac{x-y}{2} \leqq pi \ }\)
(i)\(\small{ \ \sin\displaystyle\frac{x+y}{2}\geqq 0 \ \cap \ \cos\displaystyle\frac{x-y}{2}\geqq0 \ }\)のとき
\(\small{ \ \sin\displaystyle\frac{x+y}{2}\geqq 0 \ }\)より
\(\small{ \ 0\leqq \displaystyle\frac{x+y}{2} \leqq \pi\ }\)
\(\small{ \ \therefore -x\leqq y \leqq x+2\pi \ }\)
\(\small{ \ \cos\displaystyle\frac{x-y}{2}\geqq0 \ }\)より
\(\small{ \ -\displaystyle\frac{\pi}{2}\leqq \displaystyle\frac{x-y}{2} \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \ }\)
\(\small{ \ \therefore x-\pi\leqq y \leqq x+\pi \ }\)

(ii)\(\small{ \ \sin\displaystyle\frac{x+y}{2}\leqq 0 \ \cap \ \cos\displaystyle\frac{x-y}{2}\leqq0 \ }\)のとき
\(\small{ \ \sin\displaystyle\frac{x+y}{2}\leqq 0 \ }\)より
\(\small{ \ \pi\leqq \displaystyle\frac{x+y}{2} \leqq 2\pi\ }\)
\(\small{ \ \therefore -x+2\pi\leqq y \leqq -x+4\pi \ }\)
\(\small{ \ \cos\displaystyle\frac{x-y}{2}\leqq0 \ }\)より
\(\small{ \ -\pi \leqq \displaystyle\frac{x-y}{2} \leqq -\displaystyle\frac{\pi}{2} \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\pi}{2}\leqq \displaystyle\frac{x-y}{2} \leqq \pi \ }\)
\(\small{ \ \therefore x-2\pi\leqq y \leqq x-\pi \ }\)
\(\small{ \ x+\pi\leqq y \leqq x+2\pi \ }\)

よって(i)(ii)より図のようになる
ただし境界線は含む。

三角方程式・三角不等式と領域-02

point
不等式の問題は場合分けが多くなって領域も複雑になることがあるから、とにかく丁寧に問題を解くことが重要だからね。

Point 三角方程式・三角不等式と領域

①図示の問題は図を考える前にまずは関係式を導こう
②定義域に注意して関係式をきれいに整理しよう。

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ 0\leqq x \leqq \pi \ }\),\(\small{ \ 0\leqq y \leqq \pi \ }\)のとき
\(\small{ \ \sin2x+\sin2y=2\sin\left(x+y\right) \ }\)を満たす点\(\small{ \ \left(x, \ y\right) \ }\)を図示せよ。
また、点\(\small{ \ \left(x, \ y\right) \ }\)がこの範囲にあるとき、\(\small{ \ y-\left(x-a\right)^2 \ }\)の最大値を求めよ。

\(\small{ \ \sin2x+\sin2y=\sin\left(x+y\right) \ }\)
\(\small{ \ 2\sin\left(x+y\right)\cos\left(x-y\right)=2\sin\left(x+y\right) \ }\)
\(\small{ \ \sin\left(x+y\right)\left\{1-\cos\left(x-y\right)\right\}\leqq 0 \ }\)
\(\small{ \ 1-\cos\left(x-y\right)\geqq 0 \ }\)より
\(\small{ \ \sin\left(x+y\right)\leqq 0 \ }\)または\(\small{ \ 1-\cos\left(x-y\right)=0 \ }\)
ここで\(\small{ \ 0\leqq x \leqq 2\pi \ }\),\(\small{ \ 0\leqq y \leqq 2\pi \ }\)より
\(\small{ \ 0\leqq x+y \leqq 2\pi \ }\)、\(\small{ \ -\pi \leqq x-y \leqq pi \ }\)

\(\small{ \ \sin\left(x+y\right)\leqq 0 \ }\)
\(\small{ \ \pi \leqq x+y \leqq 2\pi \ }\)
\(\small{ \ \therefore -x+\pi \leqq y \leqq -x+2\pi \ }\)
\(\small{ \ 1-\cos\left(x-y\right)=0 \ }\)より
\(\small{ \ \cos\left(x-y\right)=1 \ }\)
\(\small{ \ x-y=0 \ }\)\(\small{ \ \therefore y=x \ }\)
よって図のようになる
ただし、境界線は含む

三角方程式・三角不等式と領域-03

\(\small{ \ y-(x-a)^2=k \ }\)とおくと
\(\small{ \ y=(x-a)^2+k \ }\)
この放物線が求めた領域内を通過すればよい

(i)\(\small{ \ a\lt 0 \ }\)のとき
\(\small{ \ k \ }\)が最大になるのは\(\small{ \ y=(x-a)^2+k \ }\)が\(\small{ \ \left(x, \ y\right)=\left(0, \ \pi\right) \ }\)を通過するとき
よって最大値は\(\small{ \ \pi-a^2 \ }\)

三角方程式・三角不等式と領域-04

(ii)\(\small{ \ 0 \leqq a \leqq \pi \ }\)のとき
\(\small{ \ k \ }\)が最大になるのは\(\small{ \ y=(x-a)^2+k \ }\)が\(\small{ \ y=\pi \ }\)と接するとき
よって最大値は\(\small{ \ \pi \ }\)

三角方程式・三角不等式と領域-05

(iii)\(\small{ \ a\gt \pi \ }\)のとき
\(\small{ \ k \ }\)が最大になるのは\(\small{ \ y=(x-a)^2+k \ }\)が\(\small{ \ \left(x, \ y\right)=\left(\pi, \ \pi\right) \ }\)を通過するとき
よって最大値は\(\small{ \ \pi-(\pi-a)^2 \ }\)

三角方程式・三角不等式と領域-06

(i)~(iii)より
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\pi-a^2&\left(a\lt 0\right) \\
\pi&\left(0 \leqq a \leqq \pi\right)\\
\pi-(\pi-a)^2&\left(a\gt \pi\right)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

point
領域の問題は図示するだけじゃなくて、最大値最小値を求める問題につながるから領域の最大最小についても復習しておこう。
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