こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は二次方程式の解き方について学習していこう。
二次方程式の解き方
二次方程式の解き方は基本的に\(\small{ \ 2 \ }\)パターンあって、因数分解と解の公式を利用する方法なんだ。これは中学で教わってるからみんな知っているよね。
常に解の公式を利用すれば答えは出せるけど、必ず因数分解出来ないか考えるようにしよう。因数分解できるのに解の公式を使うと時間もかかるし、計算ミスを増やすことになるからね。
因数分解って高校生の間は何度も何度もすることだから、すぐに解の公式を使うんじゃなくて因数分解出来ないか考えてから因数分解できそうにない場合に解の公式を利用しよう。
\(\small{ \ ax^2+bx+c=0 \ }\)
・解の公式
\(\small{ \ x= \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ }\)
・因数分解
\(\small{ \ (x-\alpha)(x-\beta)=0 \ }\)や\(\small{ \ (ax+b)(cx+d)=0 \ }\)に変形
二次方程式の解き方の基本は因数分解
はじめに伝えたように解の公式は常に利用できるから、すぐに使いたくなると思うけど、それじゃダメなんだ。いつまでも解の公式を利用してるだけじゃ成績は伸びていかないよ。
因数分解を素早くできる人を見ると、直感的にこれは因数分解できるって気付いて因数分解しているように見える。だけど、実際はそうじゃなくて何度も練習したから因数分解できることに気付けるようなったんだ。だから因数分解が早くできる人ほど数学が得意っていえるんだ。
もちろん因数分解だけ特訓しても数学が得意ってことにはならないけど、一事が万事で因数分解に素早く気付くことは大切な事だと思って欲しい。
数学は問題を多く解くことで成績が伸びる科目だから、因数分解がすぐできるように何度も練習しよう。
次の二次方程式を解け。
(1)\(\small{ \ 2x^2+11x+12=0 \ }\)
(2)\(\small{ \ x^2-2x-2=0 \ }\)
(3)\(\small{ \ 2x^2+x-3=0 \ }\)
(1)\(\small{ \ 2x^2+11x+12=0 \ }\)
\(\small{ \ (2x+3)(x+4)=0 \ }\)
\(\small{ \ x=-4, \ -\displaystyle \frac{3}{2} \ }\)
(2)\(\small{ \ x^2-2x-2=0 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ x&=&\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{2^2-4\cdot(-2)}}{2}\\
&=&1\pm \sqrt{3} \ \end{eqnarray}}\)
(3)\(\small{ \ 2x^2+x-3=0 \ }\)
\(\small{ \ (2x+3)(x-1)=0 \ }\)
\(\small{ \ x=1, \ -\displaystyle \frac{3}{2} \ }\)
\(\small{ \ ax^2+2b'x+c=0 \ }\)とすると
\(\small{ \begin{eqnarray}\ x&=&\displaystyle \frac{-2b'\pm \sqrt{(-2b')^2-4ac} }{2a}\\
&=&\displaystyle \frac{-b'\pm \sqrt{b'^2-ac}}{a} \ \end{eqnarray}}\)
って簡単にすることもできる。
でも実際は使わなくても多少計算が増えるぐらいだから大して問題ないよ。この\(\small{ \ 1 \ }\)次の係数が偶数の公式をきちんと覚えてなくて使ってミスするぐらいなら使わない方がいいからね。
Point 二次方程式の解き方
①二次方程式はまず因数分解できないか考える
②因数分解できなかったら解の公式を利用する
次の方程式を解け。
\(\small{ \ (a^2-4)x^2-(a^2+2a)x+(a+2)=0 \ }\)
方程式を因数分解して
\(\small{ \ (a+2)(a-2)x^2-a(a+2)x+2(a+2)=0 \ }\)
\(\small{ \ (a+2)\left\{(a-2)x^2-ax+2\right\}=0 \ }\)
(i)\(\small{ \ a+2=0 \ }\)つまり\(\small{ \ a=-2 \ }\)のとき
左辺は常に\(\small{ \ 0 \ }\)になるので\(\small{ \ x \ }\)はすべての実数
(ii)\(\small{ \ a+2 \neq 0 \ }\)つまり\(\small{ \ a \neq -2 \ }\)のとき
ア)\(\small{ \ a-2=0 \ }\)つまり\(\small{ \ a=2 \ }\)のとき
\(\small{ \ -2x+2=0 \ }\)\(\small{ \ \therefore x=1\ }\)
イ)\(\small{ \ a-2\neq 0 \ }\)つまり\(\small{ \ a\neq2 \ }\)のとき
\(\small{ \ (a-2)x^2-ax+2=0 \ }\)
\(\small{ \ \left\{(a-2)x-2\right\}(x-1)=0 \ }\)
\(\small{ \ x=1, \ \displaystyle \frac{2}{a-2} \ }\)
でも解の公式を見てもわかるけど、分数は分母が\(\small{ \ 0 \ }\)になったらダメだから分母が文字の場合は場合分けが必要になるのに気付くよね。問題文で気付かなくても、解を求めたときに気付けば大丈夫だから、分母が文字の場合は「分母が\(\small{ \ 0 \ }\)にならない」っていつも気をつけておこう。
