2つの曲線に共通な接線の方程式

(1)\(\small{ \ 2 \ }\)つの曲線\(\small{ \ y=x^2 \ }\)と\(\small{ \ y=-x^2+ax-2 \ }\)が接するとき、\(\small{ \ a \ }\)の値を求めよ。
(2)\(\small{ \ xy \ }\)平面上に\(\small{ \ 2 \ }\)つの曲線\(\small{ \ y=x^3+3 \ }\)と\(\small{ \ y=x^3-1 \ }\)がある。
この\(\small{ \ 2 \ }\)つの曲線のどちらにも接する直線の方程式を求めよ。

(1)接する点の\(\small{ \ x \ }\)座標を\(\small{ \ t \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2t=-2t+a \\
t^2=-t^2+at-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ t=\pm1、a=\pm4 \ }\)

(2)\(\small{ \ f(x)=x^3+3、 g(x)=x^3-1 \ }\)とすると
\(\small{ \ (t,f(t)) \ }\)における接線の方程式は
\(\small{ \ y=f'(t)(x-t)+f(t)=3t^2x-2t^3+3 \ }\)
\(\small{ \ (s,g(s)) \ }\)における接線の方程式は
\(\small{ \ y=g'(s)(x-s)+g(s)=3s^2x-2s^3-1 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3t^2=3s^2\\
-2t^3+3=-2s^3-1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ t=1、s=-1 \ }\)
よって求める直線の方程式は\(\small{ \ y=3x+1 \ }\)

\(\small{ \ a \ }\)を正の定数とし、\(\small{ \ 2 \ }\)つの、曲線\(\small{ \ C_1 \ }\)、\(\small{ \ C_2 \ }\)を次のように定める。
\(\small{ \ C_1: \ y=x^3-3x \ }\)
\(\small{ \ C_2: \ y=x^3-3x+a \ }\)
(1) \(\small{ \ C_1 \ }\)と\(\small{ \ C_2 \ }\)の両方に接する直線はただ一つ存在することを示せ。
(2)\(\small{ \ C_1 \ }\)と\(\small{ \ C_2 \ }\)の両方に接する直線を\(\small{ \ l \ }\)とする。\(\small{ \ l \ }\)と \(\small{ \ C_1 \ }\)の\(\small{ \ 2 \ }\)つの共有点の\(\small{ \ x \ }\)座標の差が\(\small{ \ 1 \ }\)になるとき、\(\small{ \ a \ }\)の値を求めよ。

(1)\(\small{ \ C_1 \ }\)上の点 \(\small{ \ (t, \ t^3-3t) \ }\)における接線の方程式は
\(\small{ \ y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t\\
=(3t^2-3)x-2t^3 \ }\)
\(\small{ \ C_2 \ }\)上の点 \(\small{ \ (s, \ s^3-3s+a) \ }\)における接線の方程式は
\(\small{ \ y=(3s^2-3)(x-s)+s^3-3s+a\\
=(3s^2-3)x-2s^3+a \ }\)
この\(\small{ \ 2 \ }\)つの接線が一致するとき
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3t^2-3=3s^2-3\\
-2t^3=-2s^3+a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ (t+s)(t-s)=0\\
a=2(s^3-t^3) \ }\)
\(\small{ \ t=s \ }\)のとき、\(\small{ \ a=0 \ }\)より不適
よって \(\small{ \ t=-s \ }\)
\(\small{ \ a=4s^3 \ }\)
\(\small{ \ s=\sqrt[3 \ ]{ \displaystyle \frac{a}{4} } \ }\)
よって直線の方程式は
\(\small{ \ y=\left(\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt[3 ]{ \displaystyle \frac{a^2}{2} }-3\right)x+\displaystyle \frac{a}{2} \ }\)
となり、ただ一つ存在する

(2)曲線\(\small{ \ C_1 \ }\)と直線\(\small{ \ l \ }\)の交点の\(\small{ \ x \ }\)座標は
\(\small{ \ x^3-3x=(3t^2-3)x-2t^2 \ }\)
\(\small{ \ x^3-3t^2x+2t^2=0 \ }\)
\(\small{ \ (x-t)^2(x+2t)=0 \ }\)
\(\small{ \ x=t, \ -2t \ }\)
よってこの差が\(\small{ \ 1 \ }\)になればよいので
\(\small{ \ t-(-2t)=1 \ }\)
\(\small{ \ t=-\displaystyle \frac{1}{3} \ }\)
(1)より \(\small{ \ t=-s=-\sqrt[3 ]{ \displaystyle \frac{a}{4} } \ }\)
よって \(\small{ \ a=\displaystyle\frac{4}{27} \ }\)