こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は対称式について学習していこう。
対称式とは
\(\small{ \ x^2+xy+y^2 \ }\)の式の\(\small{ \ x \ }\)に\(\small{ \ y \ }\)を、\(\small{ \ y \ }\)に\(\small{ \ x \ }\)を代入する、つまり\(\small{ \ x \ }\)と\(\small{ \ y \ }\)を入れ替えると\(\small{ \ y^2+yx+x^2 \ }\)となり元の式と同じになる。このような文字を交換しても元の式と同じ式になる式を対称式という。
式中の\(\small{ \ 2 \ }\)文字を交換しても元の式と同じ場合、この式はその\(\small{ \ 2 \ }\)文字について対称式であるという。また、式中のどの\(\small{ \ 2 \ }\)文字を交換しても元の式と同じ場合、単に対称式という。
対称式の性質
対称式は次の性質がある。
①すべての対称式は基本対称式で表すことができる。
②\(\small{ \ n \ }\)次の対称式は\(\small{ \ n \ }\)次の基本対称式で表すことができる。
③対称式同士の和、差、積、商も対称式である。
基本対称式
基本対称式とはその名の通り基となる対称式のこと。
・\(\small{ \ 2 \ }\)次の基本対称式
\(\small{ \ x+y, \ xy \ }\)
・\(\small{ \ 3 \ }\)次の基本対称式
\(\small{ \ x+y+z, \ xy+yz+zx, \ xyz \ }\)
・\(\small{ \ 4 \ }\)次の基本対称式
このように基本対称式は\(\small{ \ 1 \ }\)次の和、\(\small{ \ 2 \ }\)次の和、\(\small{ \ 3 \ }\)次の和、・・・・となっている。
覚えておきたい対称式
・いろいろな単元で利用する対称式
\(\small{ \ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) \ }\)
\(\small{ \ x^{n+2}+y^{n+2}=(x+y)(x^{n+1}+y^{n+1})-xy(x^n+y^n) \ }\)
\(\small{ \ x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) \ }\)
\(\small{ \ x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz \ }\)
\(\small{ \ x^2+\displaystyle \frac{1}{x^2}=\left(x+\displaystyle \frac{1}{x}\right)^2-2 \ }\)
\(\small{ \ x^3+\displaystyle \frac{1}{x^3}=\left(x+\displaystyle \frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\displaystyle \frac{1}{x}\right) \ }\)
対称式の利用
・解と係数の関係と対称式
\(\small{ \ \alpha+\beta, \ \alpha\beta \ }\)
\(\small{ \ \alpha+\beta+\gamma, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha, \ \alpha\beta\gamma \ }\)
・\(\small{ \ 2 \ }\)次の基本対称式を応用した三角関数での利用
\(\small{ \ \sin x+ \cos x, \ \sin x \cos x \ }\)
