空間ベクトルを利用した四面体の体積の求め方(基本)

\(\small{ \ 1 \ }\)辺の長さが\(\small{ \ a \ }\)の正四面体\(\small{ \ \mathrm{ABCD} \ }\)の体積を求めよ。

\(\small{ \ \vert\overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert= \vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert= \vert\overrightarrow{\mathrm{AD}} \vert=a \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=a^2\cos60^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}a^2 \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)から平面\(\small{ \ \mathrm{BCD} \ }\)に下ろした垂線の足を\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)とすると、
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}+u \overrightarrow{\mathrm{AD}} \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)は平面\(\small{ \ \mathrm{BCD} \ }\)上にあるから
\(\small{ \ s+t+u=1\cdots① \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AH}} \ }\)は平面\(\small{ \ \mathrm{BCD} \ }\)に垂直だから
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0 \ }\)かつ\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0 \ }\)

\(\small{ \ -\displaystyle\frac{1}{2}s+\displaystyle\frac{1}{2}t=0\cdots ②
\ }\)

\(\small{ \ -\displaystyle\frac{1}{2}s+\displaystyle\frac{1}{2}t=0\cdots ③ \ }\)
\(\small{ \ ①, \ ②, \ ③ \ }\)より
\(\small{ \ s=t=u=\displaystyle\frac{1}{3} \ }\)
よって
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right) \ }\)

\(\small{ \ \therefore \vert\overrightarrow{\mathrm{AH}}\vert=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}a \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ V&=&\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{1}{2}a^2\sin60^{\circ}\times \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}a\\
&=&\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \ \end{eqnarray}}\)

四面体\(\small{ \ \mathrm{OABC} \ }\)の\(\small{ \ 6 \ }\)辺の長さが、\(\small{ \ \mathrm{OA}=5 \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{OB}=\sqrt{10} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{OC}=3 \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{AB}=5 \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{AC}=3 \ }\)、\(\small{ \ \sqrt{14} \ }\)である。
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a} \ }\) 、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b} \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c} \ }\)とおくとき、次の問いに答えよ。
(1)内積\(\small{ \ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a} \ }\)を求めよ。
(2)三角形\(\small{ \ \mathrm{OAB} \ }\)の面積を求めよ。
(3)三角形\(\small{ \ \mathrm{OAB} \ }\)を含む平面上に点\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)がある。この平面と線分\(\small{ \ \mathrm{CH} \ }\)が垂直であるとき、\(\small{ \ \mathrm{CH} \ }\)の長さを求めよ。
(4)四面体\(\small{ \ \mathrm{OABC} \ }\)の体積を求めよ。

(1)\(\small{ \ \vert\overrightarrow{a} \vert=5 \ }\)、\(\small{ \ \vert\overrightarrow{b} \vert=\sqrt{10} \ }\)、\(\small{ \ \vert\overrightarrow{c} \vert=3 \ }\)
\(\small{ \ \vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2=5^2 \ }\)
\(\small{ \ \vert\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} \vert^2=25 \ }\)
\(\small{ \ \vert\overrightarrow{b} \vert^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+ \vert\overrightarrow{a} \vert^2=25 \ }\)
\(\small{ \ 10-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+25=25 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=5 \ }\)

\(\small{ \ \vert \overrightarrow{\mathrm{BC}} \vert^2=3^2 \ }\)
\(\small{ \ \vert\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b} \vert^2=9 \ }\)
\(\small{ \ \vert\overrightarrow{c} \vert^2-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+ \vert\overrightarrow{b} \vert^2=9 \ }\)
\(\small{ \ 9-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+10=9 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=5 \ }\)

\(\small{ \ \vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2=\sqrt{14}^2 \ }\)
\(\small{ \ \vert\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} \vert^2=14 \ }\)
\(\small{ \ \vert\overrightarrow{c} \vert^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}+ \vert\overrightarrow{a} \vert^2=14 \ }\)
\(\small{ \ 9-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+25=14 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}=10 \ }\)

(2)\(\small{ \ \mathrm{OAB} \ }\)の面積を\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}&=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\vert\overrightarrow{a} \vert^2 \vert\overrightarrow{b} \vert^2-\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)^2}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{5^2\times \sqrt{10}^2-5^2}\\
&=&\displaystyle\frac{15}{2} \ \end{eqnarray}}\)

(3)\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)は平面\(\small{ \ \mathrm{OAB} \ }\)上にあるので
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \ }\)とおける
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{CH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{CH}} \ }\)は平面\(\small{ \ \mathrm{OAB} \ }\)と垂直より
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{CH}}\cdot\overrightarrow{a}=0 \ }\)
\(\small{ \ \left(s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\cdot\overrightarrow{a}=0 \ }\)
\(\small{ \ 25s+5t-10=0 \ }\)
\(\small{ \ 5s+t-2=0\cdot ① \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{CH}}\cdot\overrightarrow{b}=0 \ }\)
\(\small{ \ \left(s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\cdot\overrightarrow{b}=0 \ }\)
\(\small{ \ 5s+10t-5=0 \ }\)
\(\small{ \ s+2t-1=0\cdot ② \ }\)
\(\small{ \ ①, \ ② \ }\)より
\(\small{ \ s=\displaystyle\frac{1}{3}, \ t=\displaystyle\frac{1}{3} \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \ }\)

\(\small{ \ \vert\overrightarrow{\mathrm{CH}} \vert=2 \ }\)

(4)四面体\(\small{ \ \mathrm{OABC} \ }\)の体積を\(\small{ \ \mathrm{V} \ }\)とすると
\(\small{ \begin{eqnarray}\ \mathrm{V}&=&\displaystyle\frac{1}{3}\times \mathrm{S} \times \vert \overrightarrow{\mathrm{CH}}\vert\\
&=&\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{15}{2}\times 2\\
&=&5 \ \end{eqnarray}}\)