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倍数判定法

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は倍数判定法について学習していこう。

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倍数判定

ある整数が何で割れるか、つまり何の倍数かって気付くことはかなり重要なことだからね。

例えば、分数の処理で分母と分子が約分できるのに気付かないでそ、そのまま答えを書いてる人ってよく見かけたりもするしね。

それに入試問題だと、ある数の倍数って気付くことで問題を解くアプローチの仕方が変わってくるからね。
だから倍数判定法は必ず知っておこう。

倍数判定法

\(\small{2 \ }\)の倍数
下一桁が偶数

\(\small{3 \ }\)の倍数
各位の和が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数

\(\small{4 \ }\)の倍数
下二桁が\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数

\(\small{5 \ }\)の倍数
下一桁が\(\small{ \ 0 \ }\)または\(\small{ \ 5 \ }\)

\(\small{6 \ }\)の倍数
下一桁が偶数かつ各位の和が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数

\(\small{7 \ }\)の倍数
下一桁から左へ\(\small{ \ 3 \ }\)桁ごとに区切り、一番右の区画から奇数番目のものの和から偶数番目のものの和を引いたものが\(\small{ \ 7 \ }\)の倍数

\(\small{8 \ }\)の倍数
下三桁が\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数

\(\small{9 \ }\)の倍数
各位の和が\(\small{ \ 9 \ }\)の倍数

\(\small{10 \ }\)の倍数
下一桁が\(\small{ \ 0 \ }\)

\(\small{11 \ }\)の倍数
下一桁から左へ向かって、奇数番目の数の和から偶数番目の数の和を引いたものが\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数

または、下一桁から左へ\(\small{ \ 3 \ }\)桁ごとに区切り、一番右の区画から奇数番目のものの和から偶数番目のものの和を引いたものが\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数

\(\small{12 \ }\)の倍数
各位の和が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数かつ下二桁が\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数

\(\small{13 \ }\)の倍数
下一桁から左へ\(\small{ \ 3 \ }\)桁ごとに区切り、一番右の区画から奇数番目のものの和から偶数番目のものの和を引いたものが\(\small{ \ 13 \ }\)の倍数

倍数の基本法則

まず倍数判定法を学習する前に、倍数同士の足し算や引き算について考えてみよう。

例えば、\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数は整数\(\small{ \ k, \ l \ }\)を使って、\(\small{ \ 3k \ }\)や\(\small{ \ 3l \ }\)っておけるよね。
この\(\small{ \ 2 \ }\)つの数を足したり、引いたりすると
\(\small{ \ 3k+3l=3(k+l) \ }\)
\(\small{ \ 3k-3l=3(k-l) \ }\)
ってなるから、足した数も引いた数も\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数になるんだ。

つまりある数の倍数同士を足したり引いたりしてもある数の倍数になるんだ。

当たり前じゃん、って思うことだけど、大切なことだから確実に覚えておこう。

2・4・8の倍数判定

\(\small{ \ 2 \ }\)の倍数って偶数のことだよね。つまり\(\small{ \ 1 \ }\)の位の数が\(\small{ \ 0, \ 2, \ 4, \ 6, \ 8 \ }\)の場合だよね。
つまり\(\small{ \ 1 \ }\)の位の数が\(\small{ \ 0, \ 2, \ 4, \ 6, \ 8 \ }\)なら\(\small{ \ 2 \ }\)の倍数ってことになる。

\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数は元の数を下二桁とそれ以上に分けて判断するんだ。例えば\(\small{ \ 264 \ }\)の場合、\(\small{ \ 200+64 \ }\)に分けるってことね。
\(\small{ \ 100\div4=25 \ }\)だから\(\small{ \ 100 \ }\)は\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数だよね。
だから\(\small{ \ 200 \ }\)も当然\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数だから、下二桁を除いた下三桁以上の部分は\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数になるんだ。

ってことは下二桁が\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数なら\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数ってことになるよね。だって\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数同士の和も\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数になるんだったよね。

同じ考え方で\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数について考えてみよう。
\(\small{ \ 1000\div8=125 \ }\)だから\(\small{ \ 1000 \ }\)は\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数だよね。だから\(\small{ \ 1000 \ }\)未満の下三桁の数が\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数なら\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数って言えるんだ。

3・9の倍数判定

次に\(\small{ \ 3 \ }\)と\(\small{ \ 9 \ }\)の倍数判定について考えていこう。
例えば\(\small{ \ 6 \ }\)桁の整数\(\small{ \ a_5a_4a_3a_2a_1a_0 \ }\)がある。

この整数を\(\small{ \ n \ }\)とすると、\(\small{ \ n=10^5a_5+10^4a_4+10^3a_3+10^2a_2+10a_1+a_0 \ }\)ってかけるよね。
ここで\(\small{ \ 10^n=100\cdots00=99\cdots99+1 \ }\)って書けるから

\(\small{\begin{eqnarray} \ n&=&10^5a_5+10^4a_4+10^3a_3+10^2a_2+10a_1+a_0\\
&=&99999a_5+9999a_4+999a_3+99a_2+9a_1+(a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0) \ \end{eqnarray}}\)

前半部分の\(\small{ \ 99999a_5+9999a_4+999a_3+99a_2+9a_1 \ }\)は
\(\small{ \ 3(33333a_5+3333a_4+333a_3+33a_2+3a_1) \ }\)や
\(\small{ \ 9(11111a_5+1111a_4+111a_3+11a_2+a_1) \ }\)って変形できるから
\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数でもあるし\(\small{ \ 9 \ }\)の倍数でもあるよね。

だから\(\small{ \ a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0 \ }\)が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数なら\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数になるし、\(\small{ \ a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0 \ }\)が\(\small{ \ 9 \ }\)の倍数なら\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ 9 \ }\)の倍数になるんだ。

5・10の倍数判定

\(\small{ \ 5 \ }\)の倍数は下一桁が\(\small{ \ 0 \ }\)か\(\small{ \ 5 \ }\)だよね。
これは小学生のときに九九を教わったときから知っていることだよね。

\(\small{ \ 10 \ }\)の倍数は下一桁が\(\small{ \ 0 \ }\)になっていればいいよね。

7・11・13の倍数判定

次に\(\small{ \ 7・11・13 \ }\)の倍数について考えてみよう。
\(\small{ \ 7・11・13 \ }\)の倍数の判定法は同じ考え方をするから、一緒に考えてみよう。

まずは\(\small{ \ 1 \ }\)の位から\(\small{ \ 3 \ }\)桁ごとに区切ってみよう
例えば\(\small{ \ a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0 \ }\)っていう\(\small{ \ 8 \ }\)桁の数のとき、右から区切って
\(\small{ \ a_7a_6 \ }\)と\(\small{ \ a_5a_4a_3 \ }\)と\(\small{ \ a_2a_1a_0 \ }\)
ここで奇数番目\(\small{ \ a_7a_6 \ }\)と\(\small{ \ a_2a_1a_0 \ }\)の和と偶数番目の数の和(今回は偶数番目は1つしかないから)\(\small{ \ a_5a_4a_3 \ }\)を引いたものが\(\small{ \ 7 \ }\)(または\(\small{ \ 11 \ }\)または\(\small{ \ 13 \ }\))の倍数のとき、元の数\(\small{ \ a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0 \ }\)は\(\small{ \ 7 \ }\)の倍数(または\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数、または\(\small{ \ 13 \ }\)の倍数)になるんだ。

それじゃこれを証明してみよう。
\(\small{ \ a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0 \ }\)っていう\(\small{ \ 8 \ }\)桁の数は

\(\small{ \ 10^7a_7+10^6a_6+10^5a_5+10^4a_4+10^3a_3+10^2a_2+10a_1+a_0 \ }\)ってかける。

\(\small{ \ 1 \ }\)の位から\(\small{ \ 3 \ }\)桁ごとに区切って考えてみると

\(\small{ \ 10^6(10a_7+a_6)+10^3(10^2a_5+10a_4+a_3)+(10^2a_2+10a_1+a_0) \ }\)になる。

ここで
\(\small{ \ n \ }\)が奇数のとき

\(\small{ \ x^n+1=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\cdots-x+1) \ }\)

\(\small{ \ n \ }\)が偶数のとき

\(\small{ \ x^n-1=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\cdots-x+1) \ }\)

になるから、これを利用して、

\(\small{ \ n \ }\)が奇数のとき

\(\small{ \ \left(10^3\right)^n+1=1001\left\{\left(10^3\right)^{n-1}-\left(10^3\right)^{n-2}+\cdots-\left(10^3\right)+1\right\} \ }\)

\(\small{ \ n \ }\)が偶数のとき

\(\small{ \ \left(10^3\right)^n-1=1001\left\{\left(10^3\right)^{n-1}-\left(10^3\right)^{n-2}+\cdots-\left(10^3\right)+1\right\} \ }\)

ここで\(\small{ \ 1001=7\times11\times13 \ }\)だから
\(\small{ \ 1001\left\{\left(10^3\right)^{n-1}-\left(10^3\right)^{n-2}+\cdots-\left(10^3\right)+1\right\} \ }\)
は\(\small{ \ 7 \ }\)または\(\small{ \ 11 \ }\)または\(\small{ \ 13 \ }\)の倍数になるよね。

\(\small{ \ 10^6(10a_7+a_6)+10^3(10^2a_5+10a_4+a_3)+(10^2a_2+10a_1+a_0) \ }\)

\(\small{ \ (10^6-1+1)(10a_7+a_6)+(10^3+1-1)(10^2a_5+10a_4+a_3)+(10^2a_2+10a_1+a_0)\\
\ (10^6-1)(10a_7+a_6)+(10^3+1)(10^2a_5+10a_4+a_3)+(10a_7+a_6)-(10^2a_5+10a_4+a_3)+(10^2a_2+10a_1+a_0) \ }\)

このとき
\(\small{ \ (10^6-1)(10a_7+a_6) \ }\)と\(\small{ \ (10^3+1)(10^2a_5+10a_4+a_3) \ }\)は\(\small{ \ 1001 \ }\)の倍数、つまり\(\small{ \ 7 \ }\)または\(\small{ \ 11 \ }\)または\(\small{ \ 13 \ }\)の倍数だから、

\(\small{ \ (10a_7+a_6)-(10^2a_5+10a_4+a_3)+(10^2a_2+10a_1+a_0) \ }\)

が\(\small{ \ 7 \ }\)の倍数なら元の数は\(\small{ \ 7 \ }\)の倍数、\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数なら元の数は\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数、\(\small{ \ 13 \ }\)の倍数なら元の数は\(\small{ \ 13 \ }\)の倍数の倍数になるよね。

だから\(\small{ \ 7・11・13 \ }\)の倍数判定法は「\(\small{ \ 1 \ }\)の位から\(\small{ \ 3 \ }\)桁ごとに区切って右から数えて奇数番目の数の和から偶数番目の数の和を引いたものが\(\small{ \ 7 \ }\)の倍数、または\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数、または\(\small{ \ 13 \ }\)の倍数」になればいいんだ。

\(\small{ \ 3 \ }\)桁までの整数なら計算割り算して確認するしかないけど、\(\small{ \ 4 \ }\)桁以上になると計算が楽になるから覚えておこう。

ちなみに\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数判定法はもう\(\small{ \ 1 \ }\)つある。それは「下一桁から左へ向かって、奇数番目の数の和から偶数番目の数の和を引いたものが\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数」っていうやり方。

この方法については以前別の記事で証明してるから、一度確認しておこう。

▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

6・12の倍数判定

\(\small{ \ 6 \ }\)の倍数は\(\small{ \ 2 \ }\)の倍数かつ\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数ってことになるから、各位の和が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数で、下一桁が偶数なら\(\small{ \ 6 \ }\)の倍数ってことになるよね。

同じように\(\small{ \ 12 \ }\)の倍数は\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数かつ\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数ってことになるから、各位の和が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数で、下二桁が\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数だったらいいよね。
つまり合成数の倍数判定は、素因数の倍数判定を組み合わせて考えればいいんだ。

Point 倍数判定法

①\(\small{ \ 2 \ }\)~\(\small{ \ 13 \ }\)までの倍数判定法を確実に覚えておく

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