投稿日2017年2月3日  更新日
数学B 平面ベクトル

ベクトルを用いた三角形の面積の公式

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はベクトルを用いた三角形の面積の公式を学習していこう。

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ベクトルを利用した三角形の面積の求め方

三角形の面積は図形と計量で三角比を使った面積の求め方を覚えたと思うけど、それを応用してベクトルでも三角形の面積を簡単に求められるように次の公式を覚えてこう。

この公式は空間ベクトルでも利用することができるからホントに便利だからね。

三角形の面積

三角形の面積
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)^2} \ }\)

成分表示の場合
\(\small{ \ \overrightarrow{a}=(a_1, \ a_2), \ \overrightarrow{b}=(b_1, \ b_2) \ }\)とすると
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1| \ }\)

ベクトルを用いた面積の求め方-02
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ベクトルを用いた三角形の面積

\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}&=&\displaystyle\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin\theta \\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\cos^2\theta}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\right)^2}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)^2} \ \end{eqnarray}}\)

ベクトルを用いた面積の求め方-01

成分表示の三角形の面積

\(\small{ \ \overrightarrow{a}=(a_1, \ a_2), \ \overrightarrow{b}=(b_1, \ b_2) \ }\)とすると

\(\small{ \ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2} \ }\)
\(\small{ \ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2} \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2 \ }\)

ベクトルを用いた面積の求め方-02

\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}&=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)^2}\\[5pt] &=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{ \left(\sqrt{a_1^2+a_2^2}\right)^2\left(\sqrt{b_1^2+b_2^2}\right)^2-\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2 }\\[5pt] &=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{ \left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)-\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2 }\\[5pt] &=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{ a_1^2b_2^2-a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_1^2 }\\[5pt] &=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\left(a_1b_2-a_2b_1\right)^2}\\[5pt] &=&\displaystyle\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1| \ \end{eqnarray}}\)

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合わせて覚えたい面積の公式

\(\small{ \ 3 \ }\)点\(\small{ \ (0, \ 0)、(a_1, \ a_2)、(b_1, \ b_2) \ }\)を頂点とする三角形の面積を\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)とする。
\(\small{ \ (0, \ 0)、(b_1, \ b_2) \ }\)を通る直線の方程式は\(\small{ \ y=\displaystyle \frac{b_2}{b_1}x \ }\)

分母をはらって\(\small{ \ \therefore b_2x-b_1y=0 \ }\)
\(\small{ \ b_2x-b_1y=0 \ }\)と\(\small{ \ (a_1, \ a_2) \ }\)の距離\(\small{ \ l \ }\)は
\(\small{ \ l=\displaystyle \frac{|a_1b_2-a_2b_1|}{\sqrt{b_1^2+b_2^2}} \ }\)
よって求める三角形の面積\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)は
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}&=&\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}\cdot l\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1| \ \end{eqnarray}}\)

ベクトルを用いた三角形の面積の公式-03
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