積分法

部分積分法とそのやり方

2020年4月13日

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は部分積分法とその解き方について学習していこう。

部分積分法

数学Ⅲの積分の計算にはいろいろなパターンがあるけど、今回学習する部分積分法\(\small{ \ 2 \ }\)つの関数の積の時に使う積分の計算方法なんだ。

関数の積と言っても、\(\small{ \ \sin x \times \cos x \ }\)のような高校数学で教わった同じ単元の関数の積じゃなくて、\(\small{ \ e^x \times \sin x \ }\)のような教わる単元が違う関数の積で使う。

部分積分法の考え方を確認しながら、確実に計算できるようになろう。

部分積分法とその解き方

不定積分の部分積分法

\(\small{ \ \displaystyle \int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x) dx \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \int f(x) dx=xf(x)-\int xf'(x) dx \ }\)

定積分の部分積分法

\(\small{ \ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int_{a}^{b} f'(x)g(x) dx \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle\int_{a}^{b} xf(x)=xf(x)-\displaystyle\int_{a}^{b} xf'(x) dx \ }\)

部分積分法を利用する形

さっきも言ったけど、部分積分法は\(\small{ \ 2 \ }\)つの関数の積の時に使う積分の計算方法なんだ。

この\(\small{ \ 2 \ }\)つの関数というのは、高校数学で教わる「単元が異なる関数」だって理解してほしい。
例えば高校数学で教わる関数には次の関数がある。
・\(\small{ \ x^n \ }\)で表すことの出来る\(\small{ \ n \ }\)次関数(\(\small{ \ n \ }\)は自然数)
・\(\small{ \ \sin x \ }\)などの三角関数
・\(\small{ \ e^x \ }\)などの指数関数
・\(\small{ \ \log x \ }\)などの対数関数
・\(\small{ \ \sqrt{x+2} \ }\)などの無理関数
・\(\small{ \ \displaystyle\frac{x+2}{x-3} \ }\)などの分数関数

これらの関数のうち異なる単元の\(\small{ \ 2 \ }\)つの関数の積の形なら部分積分法を利用する。

だけど無理関数や分数関数が含まれているときは部分積分法より置換積分法を利用することが多い。

だから実際は\(\small{ \ n \ }\)次関数、三角関数、指数関数、対数関数のうち、\(\small{ \ 2 \ }\)つの単元の関数の積の形だったら部分積分法を利用するってことになる。

もちろん入試に出題されるような計算なら、一度置換してから部分積分法を利用する計算もあるから、瞬時に判断するのは難しいかもしれないけど、どういう形だったら計算できるかっていうのは覚えておこう。

部分積分法を利用する前に

部分積分法って次の式の計算方法だよね。
\(\small{ \ \displaystyle \int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x) dx \ }\)

これって積の微分法の式を積分した形だよね。
\(\small{ \ \left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \ }\)
移項して並べ替えると
\(\small{ \ f(x)g'(x)=\left(f(x)g(x)\right)'-f'(x)g(x) \ }\)
これを両辺積分すると
\(\small{ \ \displaystyle\int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x) dx \ }\)
まずはこのことを頭に入れておこう。

▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

部分積分法を利用するのは\(\small{ \ 2 \ }\)つの単元の関数の積だけど、どっちの関数を\(\small{ \ f(x) \ }\)にすればいいかっていうのは実は決まってるんだ。

左辺を右辺に変形しても、右辺にもまだ\(\small{ \ \displaystyle\int \ }\)が残っているよね。

\(\small{ \ \displaystyle\int \ }\)が残っているってことは、もう一度積分しないといけない。実はこれが一番重要で、もう一度積分する必要があるから、左辺の積分の式より右辺の積分の式が簡単になってないといけないんだ。

左辺と右辺の積分の部分を見比べてみよう。
\(\small{ \ f(x) \ }\)の左辺と右辺の積分の式を比べると「\(\small{ \ f(x) \ }\)が\(\small{ \ f'(x) \ }\)」になってるよね。つまり\(\small{ \ f(x) \ }\)は左辺から右辺で微分されていることがわかる。

左辺の\(\small{ \ g(x) \ }\)の左辺と右辺の積分の式を比べると「\(\small{ \ g'(x) \ }\)が\(\small{ \ g(x) \ }\)」になってるよね。つまり\(\small{ \ g(x) \ }\)は左辺から右辺で積分されていることがわかる。

ここで各関数の微分積分の関係を見てみよう。
\(\small{ \ \Leftarrow \ }\)を積分、\(\small{ \ \Rightarrow \ }\)微分とすると
\(\small{\begin{array}\displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1}&\Leftarrow&x^n&\Rightarrow&nx^{n-1}\\
-\cos x&\Leftarrow&\sin x&\Rightarrow&\cos x\\
\sin x&\Leftarrow&\cos x&\Rightarrow&-\sin x\\
e^x&\Leftarrow&e^x&\Rightarrow&e^x\\
\displaystyle\frac{a^x}{\log a}&\Leftarrow&a^x&\Rightarrow&a^x\log a\\
? &\Leftarrow&\log x&\Rightarrow&\displaystyle\frac{1}{x}\end{array} \ }\)
よく出題される基本的なものだけ書き並べたけど、ここで注目したいのは微分と積分で関数がどう変化したかってことなんだ。

\(\small{ \ x^n \ }\)は微分したら次数が下がるから積分より微分した方が関数が簡単になったって言えるよね。
それに比べて、三角関数や指数関数は微分しても、積分しても関数の難しさは対して変わってない。

対数関数の積分は公式としては教わっていないけど、微分したら\(\small{ \ \log x \ }\)が\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{x} \ }\)になるんだから簡単になったって言えそうだよね。

つまりどの関数も積分して関数は簡単になるとは言えないけど、\(\small{ \ n \ }\)次関数と対数関数は微分したら簡単になるって言える。

それを踏まえて部分積分法の式をもう一度確認するけど、
\(\small{ \ \displaystyle \int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x) dx \ }\)
左辺と右辺で\(\small{ \ f(x) \ }\)は「\(\small{ \ f(x) \ }\)が\(\small{ \ f'(x) \ }\)」つまり微分に、\(\small{ \ g(x) \ }\)は「\(\small{ \ g'(x) \ }\)が\(\small{ \ g(x) \ }\)」つまり積分になってる。

左辺の積分の式より、右辺の残った積分の式が簡単になってないといけないから、微分する関数(\(\small{ \ f(x) \ }\))の方を簡単になる関数、つまり\(\small{ \ n \ }\)次関数か対数関数にしないといけないってことになるんだ。

例えば\(\small{ \ \displaystyle\int x\cos x dx \ }\)を考えてみよう。
\(\small{ \ \displaystyle \int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x) dx \ }\)に当てはめて
\(\small{ \ f(x)=x, g'(x)=\cos x \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int x\cos x dx\\
&=&\displaystyle\int x(\sin x)'dx\\
&=&x\sin x -\displaystyle\int 1\cdot \sin x dx \ \end{eqnarray}}\)
あとは残った\(\small{ \ \displaystyle\int \sin x \ }\)を計算すればいいよね。

次にこれを逆に置いてみる。
つまり\(\small{ \ f(x)=\cos x, g'(x)= x \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int x\cos x dx\\
&=&\displaystyle\int \cos x \left(\displaystyle\frac{1}{2}x^2\right)'dx&\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}x^2\cos x -\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{2}x^2\cdot \cos x dx \end{eqnarray}}\)
ってなる。これって最後に残った積分の方が、問題文の積分より難しくなってるよね。

だから部分積分法はどっちの関数を\(\small{ \ f'(x) \ }\)っておくか決まってるんだ。反対にすると大変になるどころか解けなくなるから注意しよう。

関数の組み合わせ

部分積分法を利用する関数は、\(\small{ \ n \ }\)次関数、三角関数、指数関数、対数関数の\(\small{ \ 4 \ }\)つの関数の中から\(\small{ \ 2 \ }\)つの関数の積の計算。

そのパターンは次の\(\small{ \ 4 \ }\)つの形に分かれる。
①\(\small{ \ n \ }\)次関数と三角関数
②\(\small{ \ n \ }\)次関数と指数関数
③対数関数とその他の関数
④指数関数と三角関数

さっきも話したけど部分積分法の場合、\(\small{ \ 2 \ }\)つの関数のうちどっちを\(\small{ \ f(x) \ }\)ってするか決まってるから、確実におさえておこう。

\(\small{ \ \displaystyle \int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x) dx \ }\)のとき
①と②は微分して簡単になる\(\small{ \ n \ }\)次関数が\(\small{ \ f(x) \ }\)、③は微分して簡単になる対数関数が\(\small{ \ f(x) \ }\)、④はどちらの関数も微分して簡単にならない。この場合、\(\small{ \ 2 \ }\)回部分積分を繰り返して解いていくんだ。

①②\(\small{ \ n \ }\)次関数と三角関数、指数関数
\(\small{ \ n \ }\)次関数と三角関数、\(\small{ \ n \ }\)次関数と指数関数の場合、微分して簡単になるのは\(\small{ \ n \ }\)次関数の方だから、\(\small{ \ \displaystyle \int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x) dx \ }\)の\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ n \ }\)次関数にしよう。
\(\small{ \ f(x) \ }\)が\(\small{ \ 1 \ }\)次関数なら\(\small{ \ 1 \ }\)回部分積分をすればいいけど、\(\small{ \ f(x) \ }\)が\(\small{ \ 2 \ }\)次関数なら\(\small{ \ 2 \ }\)回部分積分する必要があるからね。

③対数関数とその他の関数
対数関数が含まれる場合は対数関数を\(\small{ \ f(x) \ }\)にしよう。
特に\(\small{ \ \log x \ }\)の積分って公式として教科書には載ってないけど、公式として覚えてるぐらいでいいからね。
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int \log x dx\\
&=&\displaystyle\int (x)'\log x \ dx\\
&=&x\log x-\displaystyle\int x \cdot \displaystyle\frac{1}{x} dx\\
&=&x\log x -x+C \ \end{eqnarray}}\)
(\(\small{ \ C \ }\)は積分定数)

④指数関数と三角関数
この場合どちらの関数を微分しても簡単にならないから、何回部分積分をしても積分の式は消えない。だけど、部分積分を\(\small{ \ 2 \ }\)回することで問題文と同じ形になるから、その時に移項して答えを出すんだ。
例えば\(\small{ \ \displaystyle\int \ e^x \sin x \ dx \ }\)なら

\(\small{\begin{eqnarray} \ I&=&\displaystyle\int \ e^x \sin x \ dx\\
&=&\displaystyle\int \ (e^x)'\sin x \ dx\\
&=&e^x\sin x-\displaystyle\int \ e^x\cos x \ dx\\
&=&e^x\sin x-\displaystyle\int \ (e^x)'\cos x \ dx\\
&=&e^x\sin x-\left\{e^x\cos x-\displaystyle\int \ e^x(-\sin x) \ dx\right\}\\
&=&e^x\sin x-e^x\cos x-\displaystyle\int \ e^x\sin x \ dx\\
&=&e^x(\sin x-\cos x)-I \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ 2I=e^x(\sin x-\cos x) \ }\)より

\(\small{ \ \displaystyle\int \ e^x\sin x \ dx=\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C \ }\)

(\(\small{ \ C \ }\)は積分定数)

今回は\(\small{ \ f(x)=\sin x \ }\)として解いたけど、この場合\(\small{ \ f(x)=e^x \ }\)で解いても問題ないからね。
ただ注意しないといけないのは\(\small{ \ 2 \ }\)回部分積分するときは、\(\small{ \ 1 \ }\)度目も\(\small{ \ 2 \ }\)度目も同じ関数を\(\small{ \ f(x) \ }\)にしないといけないということ。
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int \ e^x \sin x \ dx\\
&=&\displaystyle\int \ (e^x)'\sin x \ dx\\
&=&e^x\sin x-\displaystyle\int \ e^x\cos x \ dx\\
&=&e^x\sin x-\displaystyle\int \ e^x(\sin x)' \ dx\\
&=&e^x\sin x-\left\{e^x\sin x-\displaystyle\int \ e^x\sin x \ dx\right\}\\
&=&\displaystyle\int \ e^x\sin x \ dx \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ 1 \ }\)度目の部分積分では\(\small{ \ f(x)=\sin x \ }\)として、\(\small{ \ 2 \ }\)度目の部分積分では\(\small{ \ f(x)=e^x \ }\)って関数を変えたら、元に戻ってしまうからね。不定積分だとおかしいって気付くけど、定積分の場合、数値をさっさと代入したりして気付きにくいから、\(\small{ \ 2 \ }\)回部分積分するときは\(\small{ \ f(x) \ }\)にする関数は変えないってことを覚えておこう。

例題を確認
問題解答

次の不定積分・定積分を求めよ。
(1)\(\small{ \ \displaystyle\int \ x\cos 2x \ dx \ }\)
(2)\(\small{ \ \displaystyle\int \ x^2 \log x \ dx \ }\)
(3) \(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{\textstyle\frac{\pi}{2}}e^x\sin x dx \ }\)
(4)\(\small{ \ \displaystyle\int_{1}^{2}e^{\sqrt{x}} dx \ }\)

(1)
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int \ x\cos 2x \ dx\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}x\sin 2x -\displaystyle\int \ \displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x \ dx\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}x\sin 2x+\displaystyle\frac{1}{4}\cos 2x+C \ \end{eqnarray}}\)
(\(\small{ \ C \ }\)は積分定数)

(2)
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int \ x^2 \log x \ dx\\
&=&\displaystyle\frac{1}{3}x^3\log x-\displaystyle\int \ \displaystyle\frac{1}{3}x^2 \ dx\\
&=&\displaystyle\frac{1}{3}x^3\log x-\displaystyle\frac{1}{9}x^3+C \ \end{eqnarray}}\)
(\(\small{ \ C \ }\)は積分定数)

(3)
\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{\textstyle\frac{\pi}{2}}e^x \sin x \ dx \ }\)
ここで
\(\small{\begin{eqnarray} \ I&=&\displaystyle\int \ e^x \sin x \ dx\\
&=&\displaystyle\int \ (e^x)'\sin x \ dx\\
&=&e^x\sin x-\displaystyle\int \ e^x\cos x \ dx\\
&=&e^x\sin x-\displaystyle\int \ (e^x)'\cos x \ dx\\
&=&e^x\sin x-\left\{e^x\cos x-\displaystyle\int \ e^x(-\sin x) \ dx\right\}\\
&=&e^x\sin x-e^x\cos x-\displaystyle\int \ e^x\sin x \ dx\\
&=&e^x(\sin x-\cos x)-I \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ 2I=e^x(\sin x-\cos x) \ }\)より
\(\small{ \ \displaystyle\int \ e^x\sin x \ dx=\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C \ }\)(\(\small{ \ C \ }\)は積分定数)
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int_{0}^{\textstyle\frac{\pi}{2}}e^x\sin x \ dx\\
&=&\left[\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)\right]_{0}^{\textstyle\frac{\pi}{2}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+e^{\textstyle\frac{\pi}{2}}\right) \ \end{eqnarray}}\)

(4)
\(\small{ \ \displaystyle\int_{1}^{2}e^{\sqrt{x}} dx \ }\)
\(\small{ \ \sqrt{x}=t \ }\)とおくと\(\small{ \ x=t^2 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dx}{dt}=2t \ }\)
\(\small{ \ \begin{array}{c|ccc}
x & 1 & \to & 2 \\
\hline
t &1 & \to & \sqrt{2}
\end{array} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} &&\displaystyle\int_{1}^{2}e^{\sqrt{x}} dx\\
&=&\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}e^t \cdot 2t dt\\
&=&\left[2te^t\right]_{1}^{\sqrt{2}}-\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}2e^t dt\\
&=&2\left(\sqrt{2}-1\right)e^{\sqrt{2}} \ \end{eqnarray}}\)

point
素早く確実にできるようにするために、練習を重ねよう。ただやみくもに解くんじゃなくて、この形だから部分積分で解くんだってことを理解した上で練習していこう。

Point 部分積分法とそのやり方

①部分積分法を使う計算の形を覚える
②どちらの関数を\(\small{ \ f(x) \ }\)にするか覚える

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リンス

名前:リンス
職業:塾講師/家庭教師
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