積分法

積分の公式とその利用

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は積分の公式とその利用について学習していこう。

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積分の公式

積分の計算をする上で確実におさえておきたい公式がある。これは、置換積分法や部分積分法でも使うから一つでも覚えてないって公式があると問題が解けないってことになるから確実におさえておこう。

積分の公式

\(\small{ \ \displaystyle\int \ x^n \ dx=\displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C \ }\)ただし、\(\small{ \ n\neq 1 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \displaystyle\frac{1}{x} \ dx=\log |x|+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \sin x \ dx=-\cos x +C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \cos x \ dx=\sin x +C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \tan x \ dx=-\log |\cos x|+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ e^x \ dx=e^x+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ a^x \ dx=\displaystyle\frac{a^x}{\log a}+C \ }\)
\(\small{ \ C \ }\)は積分定数

不定積分と積分定数

\(\small{ \ x \ }\)で微分すると\(\small{ \ f(x) \ }\)になる関数があれば、その関数を\(\small{ \ f(x) \ }\)の原始関数っていうんだ。聞いたことあるよね?

\(\small{ \ F(x) \ }\)が\(\small{ \ f(x) \ }\)の原始関数のとき、つまり\(\small{ \ F'(x)=f(x) \ }\)が成り立つとき、
\(\small{ \ \left\{F(x)+C\right\}'=F'(x)=f(x) \ }\)
も成り立つから\(\small{ \ F(x)+C \ }\)も\(\small{ \ f(x) \ }\)の原始関数ってことになる。

だから\(\small{ \ f(x) \ }\)の原始関数が存在するとき、原始関数は無数に存在することになる。だから\(\small{ \ f(x) \ }\)の原始関数の\(\small{ \ 1 \ }\)つを\(\small{ \ F(x) \ }\)とすると\(\small{ \ f(x) \ }\)の原始関数全体は\(\small{ \ F(x)+C \ }\)の形で表すことができるんだ。
この表示を「\(\small{ \ f(x) \ }\)の不定積分」と言って、\(\small{ \ C \ }\)は任意の定数になる。

これを数式で\(\small{ \ \displaystyle\int \ f(x) \ dx=F(x)+C \ }\)って書く。
\(\small{ \ f(x) \ }\)を被積分関数、\(\small{ \ x \ }\)を積分変数、\(\small{ \ C \ }\)を積分定数っていう。
そして、この不定積分を求めることを「積分する」っていうんだ。

point
なんとなく積分ってものを理解してて、「原始関数って何?」って人もいると思う。でもこれって教科書にきちんと書いてあるからね。

「原始関数って何?」って思った人は、教科書をきちんと読み込んでないかもしれないから、一度きちんと教科書を読み込んでおくといいかもね。

ってなると他の単元も読み込んでないかもしれないから、時間があれば、積分の単元だけじゃなくて他の単元も読んでおくといいよね。重要なことは教科書に全部書いてあるからね。

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積分と微分

\(\small{ \ f(x) \ }\)から\(\small{ \ F(x)+C \ }\)を求めることを積分するって言って、\(\small{ \ F(x)+C \ }\)から\(\small{ \ f(x) \ }\)を求めることを微分するって言うんだよね。

微分\(\small{ \ F(x)+C \ \Rightarrow \ f(x) \ }\)
積分\(\small{ \ f(x) \ \Rightarrow \ F(x)+C \ }\)

だから積分の公式の証明は微分を利用して考えればいいんだ。微分は定義を利用すると求めることができるからね。
微分の定義\(\small{ \ \displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x) \ }\)

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積分の公式

微分と積分の関係から積分の公式を確実におさえておこう。
\(\small{ \ \displaystyle\int \ x^n \ dx=\displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C \ }\)ただし、\(\small{ \ n\neq 1 \ }\)、\(\small{ \ n \ }\)が分数でも成り立つ
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \displaystyle\frac{1}{x} \ dx=\log |x|+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \sin x \ dx=-\cos x +C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \cos x \ dx=\sin x +C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \tan x \ dx=-\log |\cos x|+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ e^x \ dx=e^x+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ a^x \ dx=\displaystyle\frac{a^x}{\log a}+C \ }\)

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point
積分の公式だけ覚えたつもりでも問題を解いていくと、微分の公式と混ざってプラスとマイナスを間違えたり、\(\small{ \ 2 \ }\)倍するところを\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{2} \ }\)倍したりする人ってよく見かけるから、積分だけじゃなく一緒に微分の公式まで覚えるようにしよう。

不定積分と定積分

原始関数を求めることが不定積分だったけど、定積分はその原始関数のうちの\(\small{ \ 1 \ }\)つを\(\small{ \ F(x) \ }\)としたとき、
\(\small{ \ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \ dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a) \ }\)になるんだったよね。

これは数学Ⅱの積分ですでに教わってることだからね。
定積分が何を表すのかってことについては、以前の記事で確認しておこう。

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例題を確認
問題解答

(1)\(\small{ \ \displaystyle\int \ \displaystyle\frac{x^2-4x+1}{x} \ dx \ }\)
(2)\(\small{ \ \displaystyle\int \ \displaystyle\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x} \ dx \ }\)
(3)\(\small{ \ \displaystyle\int \ (2\sin x+3\cos x ) \ dx \ }\)
(4)\(\small{ \ \displaystyle\int \ \displaystyle\frac{2\cos^3x-1}{\cos^2x} \ dx \ }\)
(5)\(\small{ \ \displaystyle\int \ \left(3^x-2e^x\right) \ dx \ }\)

(1)
\(\small{\displaystyle\int \ \displaystyle\frac{x^2-4x+1}{x} \ dx\\
=\displaystyle\int \left(x-4+ \displaystyle\frac{1}{x}\right) \ dx\\
=\displaystyle\frac{1}{2}x^2-4x+\log|x|+C \ }\)
(2)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \displaystyle\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x} \ dx\\
=\displaystyle\int \ \displaystyle\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x} \ dx\\
=\displaystyle\int\left(1-2x^{-\textstyle\frac{1}{2}}+\displaystyle\frac{1}{x}\right) \ dx\\
=x-4\sqrt{x}+\log|x|+C \ }\)
(3)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ (2\sin x+3\cos x ) \ dx\\
=-2\cos x +3 \sin x +C \ }\)
(4)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \displaystyle\frac{2\cos^3x-1}{\cos^2x} \ dx\\
=\left(2\cos x-\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\right)\\
=2\sin x-\tan x+C \ }\)
(5)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \left(3^x-2e^x\right) \ dx\\
=\displaystyle\frac{3^x}{\log 3}-2e^x+C \ }\)

point
公式を確実に覚えておかないと積分の計算って何もできなくなるからね。確実におさえておこう。

Point 積分の公式とその利用

①確実に公式を覚える
②積分の公式と併せて微分も覚える

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