こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は置換積分法とその解き方（基本）について学習していこう。
置換積分法
積分の計算で一番よく出題されるのが置換積分法なんだ。読んで字の如く文字を置き換えて積分するんだけど、今回は置換する文字の見分け方や計算する上で注意する点について話していくよ。
\(\small{ \ \displaystyle\int \ f(x) \ dx=\displaystyle\int \ f\left(g(t)\right)g'(t) \ dt \ }\)ただし\(\small{ \ x=g(t) \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ f(g(x))g'(x) \ dx=\displaystyle\int \ f(u) \ du \ }\)
置換積分法とは
置換積分法とは、「そのまま解くのが難しい積分を、文字を置き換えて解く方法」のこと。
例えば\(\small{ \ \displaystyle\int \ x\sqrt{1-x} \ dx \ }\)を求めてみよう。
だって\(\small{ \ \displaystyle\int \ f'(x)g'(x) \ dx= f(x)g(x) \ }\)にはならないからね。
関数の積は部分積分法を利用することが多いけど、無理関数は置換積分で解くことが多いから、まずは置換積分で考えるようにしよう。
それじゃ不定積分の置換積分をやってみよう。
まずは\(\small{ \ t=1-x \ }\)とおく。
これを両辺\(\small{ \ x \ }\)で微分して\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=-1 \ }\)
\(\small{ \ dx=-dt \ }\)
また\(\small{ \ t=1-x \ }\)より\(\small{ \ x=1-t \ }\)
よって
\(\small{ \ \displaystyle\int \ x\sqrt{1-x} \ dx\\
=\displaystyle\int \ (1-t)\sqrt{t} \ (-dt)\\
=\displaystyle\int \ \left(t^{\textstyle\frac{3}{2}}-t^{\textstyle\frac{1}{2}}\right) \ dt\\
=\displaystyle\frac{2}{5}t^{\textstyle\frac{5}{2}}-\displaystyle\frac{2}{3}t^{\textstyle\frac{3}{2}}+C\\
=\displaystyle\frac{2}{15}t^{\textstyle\frac{3}{2}}\left(3t-5\right)+C\\
=\displaystyle\frac{2}{15}(1-x)\sqrt{1-x}(-3x-2)+C\\
=-\displaystyle\frac{2}{15}(3x+2)(1-x)\sqrt{1-x}+C \ }\)
これが置換積分法を使った解き方になる。
不定積分の置換積分法の手順は次のようになるから覚えておこう。
②置換した式を微分して\(\small{ \ dx \ }\)と\(\small{ \ dt \ }\)の関係式を導く。
③\(\small{ \ x \ }\)の式を\(\small{ \ t \ }\)の式に変形する。
④計算する。
⑤答えの\(\small{ \ t \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)に戻す。
次に定積分の置換積分法を考えてみよう。
\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1} \ x\sqrt{1-x} \ dx \ }\)
不定積分と同じで、まずは\(\small{ \ t=1-x \ }\)とおく。
これを両辺\(\small{ \ x \ }\)で微分して\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=-1 \ }\)
\(\small{ \ dx=-dt \ }\)
また\(\small{ \ t=1-x \ }\)より\(\small{ \ x=1-t \ }\)
\(\small{ \ \begin{array}{c|ccc}
x &0 & \to & 1 \\
\hline
t & 1 & \to & 0 \\
\end{array} \ }\)
よって
\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1} \ x\sqrt{1-x} \ dx\\
=\displaystyle\int_{1}^{0} \ (1-t)\sqrt{t} \ (-dt)\\
=\displaystyle\int_{1}^{0} \ \left(t^{\textstyle\frac{3}{2}}-t^{\textstyle\frac{1}{2}}\right) \ dt\\
=\displaystyle\int_{0}^{1} \ \left(-t^{\textstyle\frac{3}{2}}+t^{\textstyle\frac{1}{2}}\right) \ dt\\
=\left[-\displaystyle\frac{2}{5}t^{\textstyle\frac{5}{2}}+\displaystyle\frac{2}{3}t^{\textstyle\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\\
=\displaystyle\frac{4}{15}\ }\)
定積分の置換積分法の手順は次のようになるから覚えておこう。
②置換した式を微分して\(\small{ \ dx \ }\)と\(\small{ \ dt \ }\)の関係式を導く。
③積分区間を\(\small{ \ t \ }\)の区間に変える。
④\(\small{ \ x \ }\)の式を\(\small{ \ t \ }\)の式に変形する。
⑤計算する。
置換積分法の基本
置換積分法で一番大切なのは、「どの文字を置き換えるか？」ってこと。
でもここが一番わかりにくいところでもあるよね。
そこでルールを一つ決めておくんだ。それは
「公式を利用して解ける形になるように文字を置換する」
ということ。
公式っていうのは、
\(\small{ \ n \ }\)が分数でも成り立つ
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \displaystyle\frac{1}{x} \ dx=\log |x|+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \sin x \ dx=-\cos x +C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \cos x \ dx=\sin x +C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \tan x \ dx=-\log |\cos x|+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ e^x \ dx=e^x+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ a^x \ dx=\displaystyle\frac{a^x}{\log a}+C \ }\)
のこと。
正確には\(\small{ \ x \ }\)の式を\(\small{ \ t \ }\)に置き換えるから
\(\small{ \ n \ }\)が分数でも成り立つ
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \displaystyle\frac{1}{t} \ dt=\log |t|+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \sin t \ dt=-\cos t +C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ \cos t \ dt=\sin t +C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \tan t \ dt=-\log |\cos t|+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ e^t \ dt=e^t+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ a^t \ dt=\displaystyle\frac{a^t}{\log a}+C \ }\)
の形になるように置換するんだ。
簡単な例だと\(\small{ \ \displaystyle\int \ \sin(2x-3) \ dx \ }\)なら公式の形に変形するには\(\small{ \ t=2x-3 \ }\)にすればいいよね。
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=2 \ }\)になるから\(\small{ \ \displaystyle\int \ \sin t \cdot \displaystyle\frac{1}{2}dt=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int \ \sin t \ dt \ }\)になって公式の形になるよね。
他にも\(\small{ \ \displaystyle\int \ e^{2x+1} \ dx \ }\)なら\(\small{ \ t=2x+1 \ }\)とおけば、\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=2 \ }\)から\(\small{ \ \displaystyle\int \ e^{2x+1} \cdot \displaystyle\frac{1}{2}dt=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int \ e^t \ dt \ }\)になって公式の形になるよね。
だからまずは公式の形に変形できるようにどの文字を\(\small{ \ t \ }\)っておけばいいか考えよう。
そしてもう一つ重要なことがある。
それは置換した文字だけで式を表すということ。
\(\small{ \ \displaystyle\int \ f(x) \ dx=\displaystyle\int \ g(t) \ dt \ }\)のように\(\small{ \ x \ }\)の式を\(\small{ \ t \ }\)だけの式に変形しないといけない。この変形した式に\(\small{ \ x \ }\)が残っているとダメなんだ。
例えば\(\small{ \ \displaystyle\int \ \displaystyle\frac{\log x}{2x} \ dx \ }\)の場合、\(\small{ \ t=\log x \ }\)っておけば、\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\frac{1}{x} \ }\)から、\(\small{ \ \displaystyle\int \ \displaystyle\frac{\log x}{2} \ \displaystyle\frac{dx}{x}=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int \ t \ dt \ }\)になるから公式の形になったよね。
公式の形になるようにどの文字を\(\small{ \ t \ }\)とおけばいいか考えよう。
dt/dxの値
\(\small{ \ t=2x-3 \ }\)っておく場合と\(\small{ \ t=\log x \ }\)っておく場合でちょっと違うのわかるかな？
「\(\small{ \ t=x \ }\)の式」を\(\small{ \ x \ }\)で微分したとき、\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx} \ }\)が定数になるか\(\small{ \ x \ }\)の式になるかの違いなんだ。
\(\small{ \ x \ }\)の一次式\(\small{ \ ax+b \ }\)を\(\small{ \ t \ }\)でおけば、\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=a \ }\)になって定数になるから、置換積分の\(\small{ \ dx \ }\)を\(\small{ \ dt \ }\)にするのは簡単だけど、\(\small{ \ t=\log x \ }\)や\(\small{ \ t=\sin x \ }\)、\(\small{ \ t=e^x \ }\)は\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=x \ }\)の式になるから、置換して式変形するとき「\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=x \ }\)の式」のことも考慮しないといけないんだ。
「\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=x \ }\)の式」になる置換は、どの文字を置換すれば\(\small{ \ x \ }\)が残らないか考えて置換積分しよう。
置換積分の2つの解き方
置換積分って文字置き換えるだけなんだけど、実際は\(\small{ \ 2 \ }\)つの解き方がある。これをよく理解せずに混乱する人をよく見かけるから、この\(\small{ \ 2 \ }\)つの解き方をきちんと理解しておこう。
さっきと同じ\(\small{ \ \displaystyle\int \ x\sqrt{1-x} \ dx \ }\)を考えてみよう。
\(\small{ \ 1 \ }\)つ目の解き方はさっき示した解き方になる。
\(\small{ \ \displaystyle\int \ x\sqrt{1-x} \ dx \ }\)
\(\small{ \ t=1-x \ }\)とおく
これを両辺\(\small{ \ x \ }\)で微分して
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=-1 \ }\)
\(\small{ \ dx=-dt \ }\)
また\(\small{ \ t=1-x \ }\)より\(\small{ \ x=1-t \ }\)
よって
\(\small{ \ \displaystyle\int \ x\sqrt{1-x} \ dx\\
=\displaystyle\int \ (1-t)\sqrt{t} \ (-dt)\\
=\displaystyle\int \ \left(t^{\textstyle\frac{3}{2}}-t^{\textstyle\frac{1}{2}}\right) \ dt\\
=\displaystyle\frac{2}{5}t^{\textstyle\frac{5}{2}}-\displaystyle\frac{2}{3}t^{\textstyle\frac{3}{2}}+C\\
=\displaystyle\frac{2}{15}t^{\textstyle\frac{3}{2}}\left(3t-5\right)+C\\
=\displaystyle\frac{2}{15}(1-x)\sqrt{1-x}(-3x-2)+C\\
=-\displaystyle\frac{2}{15}(3x+2)(1-x)\sqrt{1-x}+C \ }\)
これが\(\small{ \ 1 \ }\)つ目の解き方なんだ。次に\(\small{ \ 2 \ }\)つ目を見ていこう。
\(\small{ \ 2 \ }\)つ目の解き方は置換する文字を変えた解き方になる。
\(\small{ \ t=\sqrt{1-x} \ }\)とおく
両辺\(\small{ \ 2 \ }\)乗して
\(\small{ \ t^2=1-x \ }\)より\(\small{ \ x=-t^2+1 \ }\)
両辺を\(\small{ \ t \ }\)で微分して
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dx}{dt}=-2t \ }\)
\(\small{ \ dx=-2t \ dt \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ x\sqrt{1-x} \ dx\\
=\displaystyle\int \ (-t^2+1)t \cdot (-2t \ dt)\\
=\displaystyle\int \ \left(2t^4-2t^2\right) \ dx\\
=\displaystyle\frac{2}{5}t^5-\displaystyle\frac{2}{3}t^3+C\\
=\displaystyle\frac{2}{15}t^3\left(3t^2-5\right)+C\\
=\displaystyle\frac{2}{15}(1-x)\sqrt{1-x}(-3x-2)+C\\
=-\displaystyle\frac{2}{15}(3x+2)(1-x)\sqrt{1-x}+C \ }\)
この\(\small{ \ 2 \ }\)つの解き方で違うところわかったかな？
\(\small{ \ dx \ }\)と\(\small{ \ dt \ }\)を結ぶ関係式を作るとき、「\(\small{ \ x=t \ }\)の式」を\(\small{ \ t \ }\)で微分するか、「\(\small{ \ t=x \ }\)の式」を\(\small{ \ x \ }\)で微分するかの違いなんだ。これがよく理解できずに困っている人って結構いるからね。
例えば\(\small{ \ 2 \ }\)つ目の解き方で\(\small{ \ t=\sqrt{1-x} \ }\)とおいて\(\small{ \ x=t^2-1 \ }\)の形に変形せずに解くと
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=-\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=-\displaystyle\frac{1}{2t} \ }\)
\(\small{ \ \therefore dx=-2t \ dt \ }\)ってなるから結局同じになって解けるんだけど、\(\small{ \ -\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=-\displaystyle\frac{1}{2t} \ }\)に気付かなかったら解けないからね。
もちろん、この「\(\small{ \ t=x \ }\)の式」を「\(\small{ \ x=t \ }\)の式」に変形できないものもある。
\(\small{ \ t=\sin x \ }\)って置換した場合、\(\small{ \ x=t \ }\)の式には変形できないから、\(\small{ \ t=\sin x \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)で微分するしかないよね。
逆に\(\small{ \ x=\sin t \ }\)って置換することもあるから、この場合は\(\small{ \ t \ }\)で微分するしかない。
だから問題によって\(\small{ \ dx \ }\)と\(\small{ \ dt \ }\)の関係式を求める場合､\(\small{ \ x \ }\)で微分するか\(\small{ \ t \ }\)で微分するか使い分けよう。
次の不定積分・定積分を求めよ。
(1)\(\small{ \ \displaystyle\int \ (3x-1)^3 \ dx \ }\)
(2)\(\small{ \ \displaystyle\int \ 2x(x^2+1)^3 \ dx \ }\)
(3)\(\small{ \ \displaystyle\int \ x\sqrt{x+1} \ dx \ }\)
(4)\(\small{ \ \displaystyle\int\displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x+3}} \ dx}\)
(5)\(\small{ \ \displaystyle\int_0^{\textstyle\frac{\pi}{6}}\sin^2x\cos^3 x \ \ dx \ }\)
(6)\(\small{ \ \displaystyle\int_0^1 \ x^2e^{x^3} \ dx \ }\)
(1)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ (3x-1)^3 \ dx \ }\)
\(\small{ \ t=3x-1 \ }\)とおく
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=3 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int \ (3x-1)^3 \ dx\\[4pt]
&=&\displaystyle\int \ \displaystyle\frac{1}{3}t^3 \ dt\\[4pt]
&=&\displaystyle\frac{1}{12}t^4+C\\[4pt]
&=&\displaystyle\frac{1}{12}(3x-1)^4+C \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ C \ }\)は積分定数
(2)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ 2x(x^2+1)^3 \ dx \ }\)
\(\small{ \ t=x^2+1 \ }\)とおく
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=2x \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int \ 2x(x^2+1)^3 \ dx\\[4pt]
&=&\displaystyle\int \ t^3 \ dt\\[4pt]
&=&\displaystyle\frac{1}{4}t^4+C\\[4pt]
&=&\displaystyle\frac{1}{4}(x^2+1)^4+C \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ C \ }\)は積分定数
(3)
\(\small{ \ \displaystyle\int \ x\sqrt{x+1} \ dx \ }\)
\(\small{ \ t=x+1 \ }\)とおく
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=1 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int \ x\sqrt{x+1} \ dx\\[4pt]
&=&\displaystyle\int \ (t-1)\sqrt{t} \ dt\\[4pt]
&=&\displaystyle\int \ \left(t^{\textstyle\frac{3}{2}}-t^{\textstyle\frac{1}{2}}\right) \ dt\\[4pt]
&=&\displaystyle\frac{2}{5}t^{\textstyle\frac{5}{2}}-\displaystyle\frac{2}{3}t^{\textstyle\frac{3}{2}}+C\\[4pt]
&=&\displaystyle\frac{2}{15}(3x-2)\sqrt{2x+5}+C \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ C \ }\)は積分定数
(4)
\(\small{ \ \displaystyle\int\displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x+3}} \ dx}\)
\(\small{ \ t=\sqrt{x+3} \ }\)とおく
\(\small{ \ x=t^2-3 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dx}{dt}=2t \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x+3}} \ dx\\[4pt]
&=&\displaystyle\int \ \displaystyle\frac{2t^2-6}{t} \cdot 2t dt\\[4pt]
&=&\displaystyle\int \ \left(4t^2-12\right) \ dt\\[4pt]
&=&\displaystyle\frac{4}{3}t^3-12t+C\\[4pt]
&=&\displaystyle\frac{4}{3}\left(x-6\right)\sqrt{x+3}+C \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ C \ }\)は積分定数
(5)
\(\small{ \ \displaystyle\int_0^{\textstyle\frac{\pi}{6}}\sin^2x\cos^3 x \ \ dx \ }\)
\(\small{ \ t=\sin x \ }\)とおく
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=\cos x \ }\)
\(\small{ \ \begin{array}{c|ccc}
x &0 & \to & \textstyle\frac{\pi}{6} \\
\hline
t & 0 & \to & \textstyle\frac{1}{2} \\
\end{array} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int_0^{\textstyle\frac{\pi}{6}}\sin^2x\cos^2 x \ \ dx\\[4pt]
&=&\displaystyle\int_0^{\textstyle\frac{1}{2}} \ t^2(1-t^2) \ dt\\[4pt]
&=&\left[\displaystyle\frac{1}{3}t^3-\displaystyle\frac{1}{5}t^5\right]_0^{\textstyle\frac{1}{2}}\\[4pt]
&=&\displaystyle\frac{17}{480} \ \end{eqnarray}}\)
(6)
\(\small{ \ \displaystyle\int_0^1 \ x^2e^{x^3} \ dx \ }\)
\(\small{ \ t=x^3 \ }\)とおく
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dt}{dx}=3x^2 \ }\)
\(\small{ \ \begin{array}{c|ccc}
x &0 & \to & 1 \\
\hline
t & 0 & \to & 1 \\
\end{array} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int_0^1 \ x^2e^{x^3} \ dx\\[4pt]
&=&\displaystyle\int_0^1 \ \displaystyle\frac{1}{3}e^t \ dt\\[4pt]
&=&\left[\displaystyle\frac{1}{3}e^t\right]_0^1\\[4pt]
&=&\displaystyle\frac{1}{3}\left(e-1\right) \ \end{eqnarray}}\)
Point 置換積分法とその解き方（基本）
①置換積分の手順を覚える
②置換する文字を決定が特に重要
