こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は円の方程式の基本について学習していこう。
円の方程式
円の方程式は中心と半径で表される平方形と、平方形を展開した一般形の二通りの表し方があるから、問題によって使い分けていくことが重要だ。それぞれいつ使うのか、パターンをしっかりと理解しよう。
円ってある点から等しい距離にある点の集合だよね。ある点を\(\small{ \ (a,b) \ }\)、円周上の点を\(\small{ \ (x,y) \ }\)とし、この二点の距離を\(\small{ \ r \ }\)とすると、
\(\small{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r \ }\)の式が成り立つ。これを二乗したものが、円の方程式になるんだ。
\(\small{ \ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \ }\)
まずはこの式をしっかりと覚えておこう。
さらにこの式を展開して、文字を置き換えて整理したものが \(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)ってなって、一般形になるからね。
平方形：\(\small{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)
中心の座標\(\small{ \ (a,b) \ }\) 半径\(\small{ \ r \ }\)
一般形：\(\small{x^2+y^2+lx+my+n=0}\)
ただし、どちらの式も円の成立する条件があって、平方形は\(\small{ \ r^2 \gt 0 \ }\)、一般形は\(\small{ \ l^2+m^2-4n\gt0 \ }\)じゃないと円の方程式にはならないから気をつけよう。
円の方程式の成立条件を考えよう
\(\small{ \ x^2 \ }\)の項と\(\small{ \ y^2 \ }\)の項があり、その項の係数が等しいとき、円の方程式だと決めつけるのはよくない。なぜなら、\(\small{ \ x^2 \ }\)の項と\(\small{ \ y^2 \ }\)の項があり、その項の係数が等しくても円の方程式じゃなくて、点にもなる場合もあるんだ。そのことを次の例題で確認してみよう。
次の方程式はどのような図形を表すか答えなさい。
(1)\(\small{x^2+y^2-6x-4y+12=0}\)
(2)\(\small{x^2+y^2-6x-4y+13=0}\)
(3)\(\small{x^2+y^2-6x-4y+14=0}\)
(1) \(\small{x^2+y^2-6x-4y+12=0}\)
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=1}\)より
中心\(\small{(3,2)}\)、半径\(\small{1}\)の円
(2) \(\small{x^2+y^2-6x-4y+13=0}\)
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=0}\)より
平面上にある点\(\small{(3,2)}\)
(3) \(\small{x^2+y^2-6x-4y+14=0}\)
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=-1}\)
(左辺)>\(\small{0}\)、(右辺)\(\small{=-1}\)より
与えられた式を満たす点は存在しない。
だってその方程式が円だったら、どうせ中心と半径求めることになるだろうから、二度手間だもんね。
平方形に変形したとき半径を示す右辺が正の数だと円、\(\small{ \ 0 \ }\)だと点、負の数だと存在しないから覚えておこう。つまり平方形の右辺(半径の2乗)が正になることと、一般形の\(\small{ \ l^2+m^2-4n \ }\)が正になることは同値だから、いつも平方形にして円が存在するか確認してもOKなんだ。
Point
①円の方程式は平方形と一般形の2つの形がある。
②円の成立条件も考えておこう
実数\(\small{ \ a、t \ }\)に対し、方程式
がある。\(\small{ \ t \ }\)がどのような実数であってもこの方程式\(\small{(\ast)}\)が円を表すような\(\small{ \ a \ }\)の範囲を求めよ。
一般形から平方形に変形すると
これよりすべての実数\(\small{ \ t \ }\)に対して方程式\(\small{(\ast)}\)が円を表すための条件は\(\small{ \ 2t^2-4at+4a^2-4|a-3|-28 \gt0 \ }\)
\(\small{ \ (t-a)^2+a^2-2|a-3|-14 \gt 0 \ }\)がすべての実数\(\small{ \ t \ }\)に対して成立することである。
このような\(\small{ \ a \ }\)の条件は\(\small{ \ a^2-2|a-3|-14 \gt 0 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}a\geqq 3 \\
a^2-2(a-3)-14 \gt0\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
または\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}a\lt3 \\
a^2+2(a-3)-14 \gt 0\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて、\(\small{ \ a\gt 4 \ }\)または\(\small{ \ a\lt -1-\sqrt{21} \ }\)
