放物線と円で囲まれる面積の求め方

円\(\small{ \ C:x^2+(y-3)^2=a \ }\)と放物線\(\small{ \ P:y=\displaystyle\frac{1}{4}x^2 \ }\)について次の問いに答えよ。ただし、\(\small{ \ 0\lt a \lt 9 \ }\)とする。
(1)円\(\small{ \ C \ }\)と放物線\(\small{ \ P \ }\)の共有点が\(\small{ \ 2 \ }\)個のとき、\(\small{ \ a \ }\)の値を求めよ。
(2)(1)のとき共有点を\(\small{ \ \mathrm{A, \ B} \ }\)とするとき、線分\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)の下側で円\(\small{ \ C \ }\)と放物線\(\small{ \ P \ }\)で囲まれる図形の面積を求めよ。

(1)円\(\small{ \ C:x^2+(y-3)^2=a \ }\)と放物線\(\small{ \ P:y=\displaystyle\frac{1}{4}x^2 \ }\)の式を連立すると
\(\small{ \ 4y+(y-3)^2=a \ }\)
\(\small{ \ \therefore y^2-2y+9-a=0\cdots① \ }\)
円\(\small{ \ C \ }\)と放物線\(\small{ \ P \ }\)の共有点が\(\small{ \ 2 \ }\)個のとき、
この\(\small{ \ y \ }\)の二次方程式は重解をもつので
\(\small{ ① }\)の判別式を\(\small{ \ D \ }\)とすると
\(\small{ \ D=(-2)^2-4(9-a)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a=8 \ }\)

(2)\(\small{ \ a=8 \ }\)を\(\small{①}\)に代入して
\(\small{ \ y=1 \ }\)よって\(\small{ \ x=\pm2 \ }\)
ここで円の中心と共有点を結ぶ直線の傾きは\(\small{ \ 1, \ -1 \ }\)より
軸と直線のなす角は\(\small{ \ \displaystyle\frac{\pi}{4} \ }\)

求める面積は放物線の軸に対称な図形より

放物線\(\small{ \ C:y=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \ }\)上の点\(\small{ \ \mathrm{P}\left(2, \ \sqrt{3}\right) \ }\)における接線を\(\small{ \ l \ }\)とする。第\(\small{ \ 1 \ }\)象限に中心を持つ円\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)が\(\small{ \ x \ }\)軸に接し、かつ直線\(\small{ \ l \ }\)に接するとき、次の問いに答えよ。
(1)点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)を通り直線\(\small{ \ l \ }\)に直交する直線の方程式を求めよ。
(2)円\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)の中心の座標と半径を求めよ。
(3)円\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)の外部において、放物線\(\small{ \ C \ }\)、円\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)および\(\small{ \ x \ }\)軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。

(1)\(\small{ \ y=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \ }\)より\(\small{ \ y'=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}x \ }\)
点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)における接線の傾きは\(\small{ \ \sqrt{3} \ }\)
これに垂直で点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)を通る直線の方程式は
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}(x-2)+\sqrt{3}\\
&=&-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}x+\displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{3} \ \end{eqnarray}}\)

(2)(1)で求めた直線上に円の中心はある
円の中心の座標は\(\small{ \ a \ }\)を用いて
\(\small{ \ \left(5-\sqrt{3}a, \ a\right) \ }\)とおける
また直線\(\small{ \ l \ }\)の方程式は
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&\sqrt{3}(x-2)+\sqrt{3}\\
&=&\sqrt{3}x-\sqrt{3} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \therefore \sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0 \ }\)
この円が\(\small{ \ x \ }\)軸と\(\small{ \ l \ }\)の両方に接するので
\(\small{ \ \displaystyle\frac{｜\sqrt{3}(5-\sqrt{3}a-a-\sqrt{3})}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}}=a \ }\)
\(\small{ \ |4\sqrt{3}-4a|=2a \ }\)
\(\small{ \ \therefore a=\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3} \ }\)
中心の座標\(\small{ \ \left(3, \ \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) \ }\)半径\(\small{ \ \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3} \ }\)

(3)\(\small{ \ \mathrm{R}(3, \ 0), \ \mathrm{Q}(2, \ 0) \ \mathrm{C}\left(3, \ \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) \ }\)とおく
直線\(\small{ \ l \ }\)の傾きは\(\small{ \ \sqrt{3} \ }\)より
\(\small{ \ l \ }\)と\(\small{ \ x \ }\)軸のなす角\(\small{ \ \theta \ }\)は\(\small{ \ \theta=\displaystyle\frac{\pi}{3} \ }\)
これより\(\small{ \ \angle\mathrm{PCR}=\displaystyle\frac{2}{3}\pi \ }\)

よって求める面積は

曲線\(\small{ \ y=x^2 \ }\)を\(\small{ \ C_1 \ }\)とする。この\(\small{ \ C_1 \ }\)と\(\small{ \ x \ }\)軸の両方に接し、半径が\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{2} \ }\)の円を\(\small{ \ C_2 \ }\)とする。
(1)\(\small{ \ C_2 \ }\)の方程式を求めよ。
(2)\(\small{ \ C_2 \ }\)の外部において、\(\small{ \ C_1 \ }\)と\(\small{ \ C_2 \ }\)と\(\small{ \ x \ }\)軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

(1)\(\small{ \ y=x^2 \ }\)より\(\small{ \ y'=2x \ }\)
接点の\(\small{ \ x \ }\)座標を\(\small{ \ t \ }\)とすると、
法線の方程式は
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&-\displaystyle\frac{1}{2t}(x-t)+t^2\\
&=&-\displaystyle\frac{1}{2t}x+t^2+\displaystyle\frac{1}{2} \ \end{eqnarray}}\)
この法線上に円の中心はあるから、
円の中心の座標を\(\small{ \ \left(a, \ \displaystyle\frac{1}{2}\right) \ }\)とすると
\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{2}=-\displaystyle\frac{1}{2t}a+t^2+\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)
\(\small{ \ \therefore a=2t^3 \ }\)
また円の方程式は
\(\small{ \ (x-a)^2+\left(y-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)
これは接点\(\small{ \ (t, \ t^2) \ }\)も通るから
\(\small{ \ (t-a)^2+\left(t^2-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)
これに\(\small{ \ a=2t^3 \ }\)を代入して
\(\small{ \ (t-2t^3)^2+\left(t^2-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)
\(\small{ \ t^4(4t^2-3)=0 \ }\)
\(\small{ \ t\gt0 \ }\)より
\(\small{ \ t=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)
\(\small{ \ a=2t^3=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{4} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \left(x-\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)+\left(y-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)
(2)法線の傾きは\(\small{ \ -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \ }\)、
接線の傾きは\(\small{ \ \sqrt{3} \ }\)より,
扇形の中心角は\(\small{ \ \displaystyle\frac{2}{3}\pi \ }\)

よって求める面積は