コーシーシュワルツの不等式

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はコーシーシュワルツの不等式の証明について学習していこう。

コーシーシュワルツの不等式の証明

高校数学で使う有名な不等式の\(\small{ \ 1 \ }\)つだから絶対覚えていてほしいし、いざというとき使えるようにしてほしい不等式の\(\small{ \ 1 \ }\)つだよね。

これ以外に有名な不等式といえば相加相乗もあるよね。あわせて覚えておこう。

左辺\(\small{ \ - \ }\)右辺
\(\small{=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(ax+by\right)^2\\
=a^2y^2-2abxy+b^2x^2\\
= \left(ay-bx\right)^2\geqq0 \ }\)
等号成立は \(\small{ \ ay-bx=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle \frac{x}{a}= \displaystyle \frac{y}{b} \ }\)のとき

左辺\(\small{ \ - \ }\)右辺

等号成立は
\(\small{ \ ay-bx=az-cz=bz-cy=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle \frac{x}{a}= \displaystyle \frac{y}{b}= \displaystyle \frac{z}{c} \ }\)のとき

任意の実数\(\small{ \ t \ }\)を用いると

が成り立つ。

これを整理すると

これが任意の実数\(\small{ \ t \ }\)で成り立つためには、\(\small{ \ a_1^2+a_2^2+\cdots+ a_n^2\gt0 \ }\)より

の判別式が\(\small{ \ 0 \ }\)以下になるので

よって

等号成立は\(\small{ \ a_1t-b_1=a_2t-b_2=\cdots=a_nt-b_n=0 \ }\)のとき

ちなみにこの不等式を和記号で表すと
\(\small{ \ \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_k}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n{b_k}^2\right)\geqq\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_kb_k}\right)^2 \ }\)って書けるからね。

それとこの和記号を積分の形にした積分不等式（数学Ⅲ）ってのもあるからあわせてチェックしておこう。