2次方程式の解の存在範囲

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は2次方程式の解の存在範囲(配置)について学習していこう。

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解の存在範囲(配置)

2次方程式の解の存在範囲は解と係数の関係を利用する方法もあるけど、今回はグラフを利用して解の存在範囲を確認していこう。

解の存在範囲

\(\small{ \ f(x)=ax^2+bx+c=0 \ }\)(\(\small{ \ a\gt0 \ }\)のとき)

・\(\small{ \ 2 \ }\)つの解がともに\(\small{ \ \alpha \lt x \lt \beta \ }\)にある。
 \(\small{ \ D=b^2-4ac \gt 0 \ }\)
 \(\small{ \ \alpha \lt 軸 \left(-\displaystyle \frac{b}{2a} \right) \lt \beta \ }\)
 \(\small{ \ f(\alpha)\gt0, \ f(\beta)\gt0 \ }\)
解の存在範囲-01

・\(\small{ \ 2 \ }\)つの解がともに\(\small{ \ \alpha \ }\)より大きい
 \(\small{ \ D=b^2-4ac \gt 0 \ }\)
 \(\small{ \ 軸\left(-\displaystyle \frac{b}{2a}\right) \gt \alpha \ }\)
 \(\small{ \ f(\alpha)\gt0 \ }\)

解の存在範囲-02

・\(\small{ \ 2 \ }\)つの解のうち\(\small{ \ 1 \ }\)つは\(\small{ \ \alpha \ }\)より小さくて、もう1つは\(\small{ \ \alpha \ }\)より大きい
 \(\small{ \ f(\alpha)\lt 0 \ }\)

解の存在範囲-03

2つの解のうち1つは\(\small{ \ \alpha \ }\)より小さくて、もう1つは\(\small{ \ f(\alpha)\lt 0 \ }\)ってなって判別式を考えてないけど、下に凸のグラフが負の部分を通るってことは、いつか増加して正の値になるから解を持つから、もう判別式が必要ないんだ。

グラフから解の存在範囲を考えよう

解の存在範囲はグラフを書いて考えるのが一番だよね。例えば2つの解が\(\small{ \ \alpha \ }\)と\(\small{ \ \beta \ }\)の間にある場合、まず解が2つあるから判別式が正っていえるよね。これだと図の青いグラフにもなるから条件を満たすとは言えないよね。条件を満たすには軸が\(\small{ \ \alpha \ }\)と\(\small{ \ \beta \ }\)の間にないといけないよね。でもそれだけじゃ緑のグラフにもなりえるからまだ条件が足りない。緑と赤のグラフの違いは\(\small{ \ f(\alpha) \ }\)と\(\small{ \ f(\beta) \ }\)の値が正か負かの違いだからそこまで考える事で条件を満たすグラフを考える事ができるんだ。

解の存在範囲-04

例題を確認
問題解答

2次方程式\(\small{ \ x^2+kx+2k-1=0 \ }\)が次の条件を満たすように定数\(\small{ \ k \ }\)の範囲を求めよ。
(1)異なる2つの解がともに\(\small{ \ -1 \ }\)より小さい
(2)異なる2つの解がともに\(\small{ \ -2 \ }\)と\(\small{ \ 5 \ }\)の間にある

\(\small{ \ f(x)=x^2+kx+2k-1 \ }\)とする
(1)異なる2つの解を持つので
\(\small{ \ D=k^2-8k+4\gt0 \ }\)
\(\small{ \ k^2-8k+4=0 \ }\)とすると
\(\small{ \ k=4\pm2\sqrt{3} \ }\)
よって\(\small{ \ k \lt 4-2\sqrt{3}, \ k \gt 4+2\sqrt{3} \cdot① }\)
軸が\(\small{ \ -2 \ }\)より小さいので
\(\small{ \ -\displaystyle \frac{k}{2}\lt-1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore k \gt 2 \ }\)
\(\small{ \ f(-1)\gt0 \ }\)であればよいので
\(\small{ \ f(-1)=k\gt0\cdots③ \ }\)
\(\small{ \ ①②③ \ }\)より
\(\small{ \ k\gt4+2\sqrt{3} \ }\)

(2)異なる2つの解を持つので\(\small{ \ D\gt0 \ }\)より
\(\small{ \ k \lt 4-2\sqrt{3}, \ k \gt 4+2\sqrt{3} \cdot① }\)
軸が\(\small{ \ -2 \ }\)と\(\small{ \ 5 \ }\)の間にあり、
\(\small{ \ f(-2) \ }\)と\(\small{ \ f(5) \ }\)が正であればよい
\(\small{ \ -2\lt -\displaystyle \frac{k}{2}\lt5 \ }\)
\(\small{ \ \therefore -10 \lt k\lt 4 \cdots② }\)
\(\small{ \ f(-2)=3\gt0 \ }\)
\(\small{ \ f(5)=7k+24\gt0 \ }\)\(\small{ \ \therefore k\gt-\displaystyle \frac{24}{7} \cdots③ }\)
\(\small{ \ ①②③ \ }\)より
\(\small{ \ -\displaystyle \frac{24}{7} \lt k \lt4-2\sqrt{3} \ }\)

point
解の配置の問題は微分や他の関数の単元でも利用されるから、まずはきちんと2次関数のグラフできちんと押さえておこう。

Point

①存在範囲を満たす条件をきちんと考えよう
②軸や定義域の端の\(\small{ \ y \ }\)座標に注意しよう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

方程式\(\small{ \ x^4-ax^2+a^2-a-2=0 \ }\)が相異なる4つの実数解を持つとき、実数\(\small{ \ a \ }\)のとりうる値の範囲を求めよ。

\(\small{ \ x^2=t \ }\)とすると
\(\small{ \ t^2-at+a^2-a-2=0 \ }\)と\(\small{ \ t \ }\)の2次方程式になるので
この2次方程式の解が正の異なる2つの解を持てばよい。
\(\small{ \ f(t)=t^2-at+a^2-a-2 \ }\)とすると
異なる解を2つ持つので
\(\small{ \ D\gt0 \ }\)
\(\small{ \ (-a)^2-4(a^2-a-2)\gt0 \ }\)
\(\small{ \ 3a^2-4a-8\lt 0 \ }\)
\(\small{ \ 3a^2-4a-8=0 \ }\)とおくと
\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{2\pm2\sqrt{7}}{3} \ }\)
よって\(\small{ \ \displaystyle \frac{2-2\sqrt{7}}{3}\lt x \lt \displaystyle \frac{2+2\sqrt{7}}{3}\cdots① \ }\)
正の解を2つ持つので
軸が正かつ\(\small{ \ f(0)\gt0 \ }\)であればよい
\(\small{ \ \displaystyle \frac{a}{2}\gt 0 \ }\)\(\small{ \ \therefore a\gt 0 \cdots② \ }\)
\(\small{ \ f(0)=a^2-a-2=(a+1)(a-2)\gt0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a\lt-1, \ a\gt2 \cdots③ }\)
\(\small{ \ ①, \ ②, \ ③ \ }\)より
\(\small{ \ 2\lt a \lt \displaystyle \frac{2+2\sqrt{7}}{3} \ }\)

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