シュワルツの積分不等式

2020年5月25日

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はシュワルツの積分不等式について証明していこう。

シュワルツの積分不等式

高校数学で有名な不等式って言ったら、相加相乗やコーシーシュワルツの不等式があるよね。

コーシーシュワルツの不等式って実はシュワルツの不等式やコーシーの不等式って呼ばれたりもするんだけど、今回学習するのはこのコーシーシュワルツの不等式の積分バージョンなんだ。

これはシュワルツの不等式って呼ばれてる。証明も簡単に理解できると思うから、コーシーシュワルツの不等式と一緒に覚えておこう。

シュワルツの不等式

\(\small{ \ \left(\displaystyle\int_{a}^{b}\left\{f(x)\right\}^2 \ dx\right)\left(\displaystyle\int_{a}^{b}\left\{g(x)\right\}^2 \ dx\right)\geqq\left(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x) \ dx\right)^2 \ }\)

等号成立は\(\small{ \ g(x)=tf(x) \ }\)（\(\small{ \ t \ }\)は実数）のとき

シュワルツの不等式の証明

ある実数\(\small{ \ t \ }\)と\(\small{ \ f(x), \ g(x) \ }\)を用いると
\(\small{ \ \left(tf(x)-g(x)\right)^2\geqq0 \ }\)
これより
\(\small{ \ \displaystyle\int_{a}^{b}\left(tf(x)-g(x)\right)^2 \ dx\geqq0 \ }\)
これを展開すると

\(\small{ \ t^2\displaystyle\int_{a}^{b}\left\{f(x)\right\}^2 \ dx-2t\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x) \ dx+\displaystyle\int_{a}^{b}\left\{g(x)\right\}^2 \ dx\geqq0 \ }\)

ここで
\(\small{ \ A=\displaystyle\int_{a}^{b}\left\{f(x)\right\}^2 \ dx\\[3pt] \ B=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x) \ dx\\[3pt] \ C=\displaystyle\int_{a}^{b}\left\{g(x)\right\}^2 \ dx \ }\)
とすると
\(\small{ \ At^2-2Bt+C\geqq0 \ }\)
これはすべての\(\small{ \ t \ }\)で成り立つので、
\(\small{ \ At^2-2Bt+C=0 \ }\)の判別式を\(\small{ \ D \ }\)とすると
\(\small{ \ D\leqq0 \ }\)となる
\(\small{ \ \displaystyle\frac{D}{4}=B^2-AC\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ AC\geqq B^2 \ }\)より

ここで等号が成立するのは
\(\small{ \ B^2=AC \ }\)のとき
つまり\(\small{ \ \displaystyle\int_{a}^{b}\left(tf(x)-g(x)\right)^2 \ dx=0 \ }\)
\(\small{ \ tf(x)-g(x)=0　\ }\)
\(\small{ \ \therefore g(x)=tf(x)　\ }\)のとき
また、これとは別に\(\small{ \ f(x)=0 \ }\)または\(\small{ \ g(x)=0 \ }\)のときも成り立つ。

コーシーシュワルツの不等式と形がかなり似てるから覚えやすいかな。

\(\small{ \ \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n {a_k}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n {b_k}^2\right)=\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_kb_k\right)^2 \ }\)

CHECK