複素数と図形（円）

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は複素数と図形（円）について学習していこう。

複素数平面上の図形

複素数平面上の図形の第2回目は円について学習していこう。前回は複素数平面上の直線だったから、直線をまだ確認していない人は複素数と図形（直線）を確認してから進めていこう。

円を表す図形の方程式

円は「円の中心と半径」が大切だよね。これさえ分かっていれば円を書くことができるからね。これは図形と方程式やベクトル方程式のときも同じだよね。

円は中心からの距離が等しい点の集まりだから、点\(\small{ \ \mathrm{P}\left(z\right) \ }\)は中心が点\(\small{ \ \mathrm{A}\left(\alpha\right) \ }\)、半径\(\small{ \ r \ }\)の円を描くとき次の方程式を満たす。
\(\small{ \ |z-\alpha|=r \ }\)

これが複素数平面で円を表す方程式の形になるから覚えておこう。

絶対値記号を外した円の方程式

\(\small{ \ |z-\alpha|=r \ }\)が円の方程式になるのは分かったけど、試験ではこの形に自分で導かないといけない。

そもそも半径と中心が先にわかってることってほとんどないよね。だからこの\(\small{ \ |z-\alpha|=r \ }\)の形は最終形になるんだ。図形と方程式でいうところの\(\small{ \ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \ }\)のこと。
式を見ただけで中心と半径がわかる形だよね。

でも図形と方程式の座標平面でも\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)の形みたいに円ってわかるけど、中心と半径は式変形しないとわからないことってあるよね。

これと同じように複素数平面でも\(\small{ \ |z-\alpha|=r \ }\)の前にもう一つ式があるんだ。それは絶対値記号を外した形になる。

それじゃ\(\small{ \ |z-\alpha|=r \ }\)の絶対値記号を外してみよう。
\(\small{ \ |z|^2=z\overline{z} \ }\)になることに注意して、両辺\(\small{ \ 2 \ }\)乗すると
\(\small{ \ |z-\alpha|^2=r^2 \ }\)
\(\small{ \ \left(z-\alpha\right)\overline{\left(z-\alpha\right)}=r^2 \ }\)
\(\small{ \ \left(z-\alpha\right)\left(\overline{z}-\overline{\alpha}\right)=r^2 \ }\)
\(\small{ \ z\overline{z}-\overline{\alpha}z-\alpha\overline{z}-\alpha\overline{\alpha}-r^2=0 \ }\)

この形が絶対値記号を外した円の方程式になる。このとき\(\small{ \ \alpha \ }\)は中心を表す複素数だから\(\small{ \ \alpha=1+2i \ }\)のように\(\small{ \ a+bi \ }\)の形をしてる。

だから\(\small{ \ \alpha\overline{\alpha}=|\alpha|^2 \ }\)は、\(\small{ \ \alpha=a+bi \ }\)なら\(\small{ \ |\alpha|^2=a^2+b^2 \ }\)になって\(\small{ \ -\alpha\overline{\alpha}-r^2 \ }\)は実数になって計算できるからね。

アポロニウスの円と複素数平面

アポロニウスの円とは\(\small{ \ 2 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の距離の比\(\small{ \ \mathrm{AP:BP} \ }\)が一定(\(\small{ \ \mathrm{AP\neq BP} \ }\))のときの点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の軌跡のことで、これは円を描く。

図形と方程式の軌跡でもよく出題されるけど、これを複素数平面で考えてみよう。

\(\small{ \ \mathrm{A}(\alpha) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(\beta) \ }\)と\(\small{ \ \mathrm{P}(z) \ }\)のとき、\(\small{ \ \mathrm{AP:BP}=m:n \ }\)とすると
\(\small{ \ |z-\alpha|:|z-\beta|=m:n \ }\)
\(\small{ \ n|z-\alpha|=m|z-\beta| \ }\)

これを具体的な数値で考えてみよう。
\(\small{ \ 1 \ }\)、\(\small{ \ i \ }\)からの距離が\(\small{ \ 3:2 \ }\)になる点\(\small{ \ z \ }\)の表す図形を考えてみよう。
\(\small{ \ |z-1|:|z-i|=3:2 \ }\)
\(\small{ \ 3|z-i|=2|z-1| \ }\)
\(\small{ \ 9|z-i|^2=4|z-1|^2 \ }\)

\(\small{ \ \left|z+\displaystyle\frac{4-9i}{5}\right|^2=\displaystyle\frac{72}{25} \ }\)
\(\small{ \ \left|z+\displaystyle\frac{4-9i}{5}\right|=\displaystyle\frac{6\sqrt{2}}{5} \ }\)

これで点\(\small{ \ -\displaystyle\frac{4}{5}+\displaystyle\frac{9}{5}i \ }\)を中心とする半径\(\small{ \ \displaystyle\frac{6\sqrt{2}}{5} \ }\)の円を描くことがわかる。

この計算は\(\small{ \ n|z-\alpha|=m|z-\beta| \ }\)から絶対値記号を外して、式を整理して、また絶対値記号を含めた円の形に変形する。大変な計算だけど、確実にできるようにしておかないといけないからね。

\(\small{ \ |\overline{z}|=2 \ }\)と\(\small{ \ |z|=2 \ }\)は同じことだよね。だから\(\small{ \ |\overline{z-\alpha}|=2 \ }\)と\(\small{ \ |z-\alpha|=2 \ }\)も同じになるからね。

Point 複素数と図形（円）

①\(\small{ \ |\overline{z-\alpha}|=r \ }\)から中心と半径を求める
②絶対値記号がない\(\small{ \ z\overline{z}-\overline{\alpha}z-\alpha\overline{z}-\alpha\overline{\alpha}-r^2=0 \ }\)を
\(\small{ \ |\overline{z-\alpha}|=r \ }\)に変形できるようにする
③\(\small{ \ n|z-\alpha|=m|z-\beta| \ }\)はアポロニウスの円

問題解答

(1)等式\(\small{ \ z\overline{z}+2\left(z+\overline{z}\right)+2\sqrt{3}i\left(z-\overline{z}\right)+12=0 \ }\)を満たす\(\small{ \ z \ }\)全体を求め、その図形を複素数平面上に図示せよ。
(2)\(\small{ \ a \ }\)の値を正の実数とする。複素数\(\small{ \ z_0 \ }\)は\(\small{ \ z_0 ^3=ia \ }\)を満たし、かつ\(\small{ \ z_0 \ }\)は(1)で求めた図形上にあるとする。このとき、\(\small{ \ a \ }\)と\(\small{ \ z_0 \ }\)の値をそれぞれ求めよ。

(1)

\(\small{ \ z\overline{z}+2\left(z+\overline{z}\right)+2\sqrt{3}i\left(z-\overline{z}\right)+12=0 \ }\)
\(\small{ \ \left(z+2-2\sqrt{3}i\right)\left(\overline{z}+2+2\sqrt{3}i\right)=4 \ }\)
\(\small{ \ \left(z+2-2\sqrt{3}i\right)\left(\overline{z+2-2\sqrt{3}i}\right)=4 \ }\)

\(\small{ \ \left|z+2-2\sqrt{3}i\right|^2=4 \ }\)
\(\small{ \ \left|z+2-2\sqrt{3}i\right|=2 \ }\)
よって点\(\small{ \ -2+2\sqrt{3}i \ }\)を中心とする半径\(\small{ \ 2 \ }\)の円

(2)

\(\small{ \ z_0=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right) \ }\)
\(\small{ \ \left(r\gt0, \ 0\leqq \theta\lt2\pi\right) \ }\)とおく
(1)より\(\small{ \ z_0 \ }\)が点\(\small{ \ -2+2\sqrt{3}i \ }\)を中心とする半径\(\small{ \ 2 \ }\)の円周上を動くとき
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{5}{6}\pi \ }\)
\(\small{ \ z_0 ^3=r^3\left(\cos3\theta+i\sin3\theta\right) \ }\)
\(\small{ \ z_0 ^3=ia=a\left(\cos\displaystyle\frac{\pi}{2}+i\sin\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \ }\)より
\(\small{ \ r^3=a, \ 3\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2n\pi \ }\)（\(\small{ \ n \ }\)は整数）
\(\small{ \ \theta=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2}{3}n\pi \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{5}{6}\pi \ }\)より\(\small{ \ \theta=\displaystyle\frac{5}{6}\pi \ }\)
このとき図より\(\small{ \ r=2\sqrt{3} \ }\)
よって
\(\small{\begin{eqnarray} \ z_0&=&2\sqrt{3}\left(\cos\displaystyle\frac{5}{6}\pi+i\sin\displaystyle\frac{5}{6}\pi\right)\\[3pt] &=&-3+\sqrt{3}i \ \end{eqnarray}}\)
また\(\small{ \ a=r^3 \ }\)より\(\small{ \ a=24\sqrt{3} \ }\)