複素数平面上での回転移動の応用

\(\small{ \ \alpha=2-\sqrt{3}i, \ \beta=4+\sqrt{3}i \ }\)について、点\(\small{ \ \beta \ }\)を点\(\small{ \ \alpha \ }\)の周りに\(\small{ \ \displaystyle\frac{\pi}{3} \ }\)回転した点を表す複素数を求めよ。

\(\small{ \ \beta-\alpha=2+2\sqrt{3}i \ }\)
\(\small{ \ (2+2\sqrt{3}i)\left(\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}+i\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\\[3pt] =\displaystyle\frac{1}{2}(2+2\sqrt{3}i)(1+\sqrt{3}i)\\[3pt] =\displaystyle\frac{1}{2}(-4+4\sqrt{3}i)\\[3pt] =-2+2\sqrt{3}i \ }\)
よって求める答えは
\(\small{ \ -2+2\sqrt{3}i+2-\sqrt{3}i =\sqrt{3}i \ }\)

\(\small{ \ \mathrm{A}(5-4i) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(3-2i) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(x-i) \ }\)が一直線上にあるとき、実数\(\small{ \ x \ }\)の値を求めよ。

\(\small{ \ \displaystyle\frac{(x-i)-(5-4i)}{(3-2i)-(5-4i)} \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle\frac{x-5+3i}{-2+2i} \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle\frac{(x-5+3i)(-2-2i)}{(-2+2i)(-2-2i)} \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle\frac{(-2x+6)+(-2x+4)i}{8} \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle\frac{(-x+3)+(-x+2)i}{4} \ }\)
三点が一直線上にあるとき、これが実数になるので
\(\small{ \ -x+2=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=2 \ }\)

複素数平面を座標平面にして考えると
\(\small{ \ \mathrm{A}(5, \ -4) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(3, \ -2) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(x, \ -1) \ }\)
三点が一直線上にあるとき、この直線の傾きは等しいので
\(\small{ \ \displaystyle\frac{-1-(-4)}{x-5}=\displaystyle\frac{-2-(-4)}{3-5} \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{3}{x-5}=-1 \ }\)
\(\small{ \ x-5=-3 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=2 \ }\)

複素数平面上で原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)と二点\(\small{ \ \mathrm{A}(\alpha), \ \mathrm{B}(\beta) \ }\)を頂点とする\(\small{ \ \triangle \mathrm{OAB} \ }\)がある。直線\(\small{ \ \mathrm{OB} \ }\)に関して点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)、直線\(\small{ \ \mathrm{OA} \ }\) に関して点\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)と対称な点を\(\small{ \ \mathrm{D} \ }\)とするとき、次の問いに答えよ。
(1)点\(\small{ \ \mathrm{C}(\gamma) \ }\)とするとき、\(\small{ \ \gamma=\overline{\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\right)}\beta \ }\)であることを示せ。
(2)辺\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)と直線\(\small{ \ \mathrm{DC} \ }\)が平行なとき、\(\small{ \ \triangle \mathrm{OAB} \ }\)はどのような三角形か。

\(\small{ \ \mathrm{O}, \ \mathrm{A}(\alpha), \ \mathrm{B}(\beta) \ }\)は三角形の頂点だから
\(\small{ \ \alpha\neq0, \ \beta\neq0, \ \alpha\neq\beta \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{arg} \ \displaystyle\frac{\beta}{\alpha}=\mathrm{arg} \ \displaystyle\frac{\gamma}{\beta}=\theta \ }\)とおくと
\(\small{ \ \gamma=\displaystyle\frac{|\gamma|}{|\beta|}(\cos \theta+i\sin \theta)\beta\cdots① \ }\)
また\(\small{ \ \mathrm{arg} \ \displaystyle\frac{\alpha}{\beta}=-\theta \ }\)だから
\(\small{\begin{eqnarray} \ \displaystyle\frac{\alpha}{\beta}&=&\displaystyle\frac{|\alpha|}{|\beta|}\left\{\cos \left(-\theta\right)+i\sin \left(-\theta\right)\right\}\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{|\alpha|}{|\beta|}\left(\cos\theta-i\sin\theta\right) \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \therefore \overline{\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\right)}=\displaystyle\frac{|\alpha|}{|\beta|}\left(\cos\theta+i\sin\theta\right) \ }\)

これと\(\small{ \ ①}\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ \gamma&=&\displaystyle\frac{|\gamma|}{|\beta|}\cdot\displaystyle\frac{|\beta|}{|\alpha|}\overline{\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\right)}\beta\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{|\gamma|}{|\alpha|}\overline{\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\right)}\beta \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \mathrm{OA=OC} \ }\)より\(\small{ \ |\alpha|=|\gamma| \ }\)
よって\(\small{ \ \gamma=\overline{\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\right)}\beta \ }\)

(2)点\(\small{ \ \mathrm{D}(\omega) \ }\)とすると、\(\small{ \ \mathrm{arg} \ \displaystyle\frac{\omega}{\alpha}=-\theta \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \omega&=&\displaystyle\frac{|\omega|}{|\alpha|}\left\{\cos \left(-\theta\right)+i\sin \left(-\theta\right)\right\}\alpha\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{|\omega|}{|\alpha|}\left(\cos \theta-i\sin\theta\right)\alpha \ \end{eqnarray}}\)
また
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\beta}{\alpha}=\displaystyle\frac{|\beta|}{|\alpha|}(\cos \theta+i\sin\theta) \ }\)より
\(\small{ \ \overline{\left(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}\right)}=\displaystyle\frac{|\beta|}{|\alpha|}(\cos \theta-i\sin\theta) \ }\)
よって
\(\small{\begin{eqnarray} \ \omega&=&\displaystyle\frac{|\omega|}{|\alpha|}\cdot\displaystyle\frac{|\alpha|}{|\beta|}\overline{\left(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}\right)}\alpha \\[3pt] &=&\displaystyle\frac{|\omega|}{|\beta|}\overline{\left(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}\right)}\alpha \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \mathrm{OB=OD} \ }\)より\(\small{ \ |\beta|=|\omega| \ }\)より
\(\small{ \ \omega=\overline{\left(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}\right)}\alpha \ }\)
辺\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)と直線\(\small{ \ \mathrm{DC} \ }\)が平行なとき、\(\small{ \ \displaystyle\frac{\gamma-\omega}{\beta-\alpha} \ }\)は実数であるから
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\gamma-\omega}{\beta-\alpha}=\overline{\displaystyle\frac{\gamma-\omega}{\beta-\alpha}} \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\gamma-\omega}{\beta-\alpha}=\displaystyle\frac{\bar{\gamma}-\bar{\omega}}{\bar{\beta}-\bar{\alpha}} \ }\)

これを展開して整理すると

よって\(\small{ \ |\alpha|^2=|\beta|^2 \ }\)または\(\small{ \ \displaystyle\frac{\bar{\alpha}\beta}{\alpha\bar{\beta}}=\displaystyle\frac{\alpha\bar{\beta}}{\bar{\alpha}\beta} \ }\)
(i)\(\small{ \ |\alpha|^2=|\beta|^2 \ }\)のとき
\(\small{ \ \mathrm{OA}=\mathrm{OB} \ }\)
よって\(\small{ \ \mathrm{OA}=\mathrm{OB} \ }\)の二等辺三角形
(ii)\(\small{ \ \displaystyle\frac{\bar{\alpha}\beta}{\alpha\bar{\beta}}=\displaystyle\frac{\alpha\bar{\beta}}{\bar{\alpha}\beta} \ }\)のとき
\(\small{ \ \left(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}\right)^2=\left\{\overline{\left(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}\right)}\right\}^2 \ }\)より
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\beta}{\alpha}=\overline{\left(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}\right)} \ }\)または\(\small{ \ \displaystyle\frac{\beta}{\alpha}=-\overline{\left(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}\right)} \ }\)
よって\(\small{ \ \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \ }\)は実数または純虚数である
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \ }\)が実数のとき、三点\(\small{ \ \mathrm{O, \ A, \ B} \ }\)は同一直線上にあるため不適
\(\small{ \ \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \ }\)が純虚数のとき、\(\small{ \ \mathrm{OA} \ }\)と\(\small{ \ \mathrm{OB} \ }\)は直交する
よって\(\small{ \ \angle \mathrm{AOB}=90^{\circ} \ }\)の直角三角形

(i)(ii)より\(\small{ \ \triangle \mathrm{OAB} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{OA}=\mathrm{OB} \ }\)の二等辺三角形か\(\small{ \ \angle \mathrm{AOB}=90^{\circ} \ }\)の直角三角形である