ベクトル方程式の基本

2017年3月6日

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はベクトル方程式の基本について学習していこう。

ベクトル方程式とは

ベクトル方程式って聞くとなんだか難しいって感じがするけど、きちんと理解するとそんな難しいことじゃない。

ベクトル方程式とは「位置ベクトルを使った点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の満たす条件式」のことなんだ。

今回でしっかりと理解して解けるようになろう。

ベクトル方程式

ベクトル方程式
位置ベクトルを使った点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の満たす条件式のこと
その条件式は\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} } \ }\)や\(\small{ \ \overrightarrow{ p } \ }\)の満たす式

ベクトル方程式とは

数学Ⅱで直線の方程式\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)や円の方程式\(\small{ \ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \ }\)を教わったよね。
これは点\(\small{ \ (x, \ y) \ }\)がみたす条件を式にしたもので、点の集合が線になるんだよね。

ベクトル方程式はこの条件をベクトルで表したものになるんだ。

始点 \(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)に対して点\(\small{ \ \mathrm{P}(x, \ y) \ }\)が満たす条件を \(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} } \ }\)を使って表せばベクトル方程式になるからね。

もちろん \(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }= \overrightarrow{ p } \ }\)として \(\small{ \ \overrightarrow{ p } \ }\)の満たす式でもいいからね。

ベクトル方程式と軌跡の考え方

数学Ⅱの軌跡の方程式の点\(\small{ \ \mathrm{P}(x, \ y) \ }\)の満たす条件式を求める方法と同じで、ベクトル方程式は位置ベクトルを利用して条件式を導くことになるから、軌跡と考え方は同じだから軌跡の解き方も確認しておこう。

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軌跡の方程式（基本）

成分表示のベクトルの場合 \(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=(x, \ y) \ }\)になるから座標平面の問題と同じようにベクトル方程式で\(\small{ \ x, \ y \ }\)の関係式を導くことができるからね。

つまりこれが点 \(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の軌跡にもなるんだ。

ベクトル方程式の例

それじゃ簡単なベクトル方程式についてみていこう。

\(\small{ \ \overrightarrow{ p }= \overrightarrow{ a }+t \overrightarrow{ b } \ }\)

これは\(\small{ \ t \ }\)がすべての実数値をとって変化すると、点\(\small{ \ \mathrm{P}\left( \overrightarrow{ p }\right) \ }\)の集合は直線になる。
これは点\(\small{ \ \mathrm{A}\left(\overrightarrow{ a }\right) \ }\)を通って\(\small{ \ \overrightarrow{ b } \ }\)に平行な直線になる。

\(\small{ \ \left| \overrightarrow{ p }- \overrightarrow{ c }\right|=r \ }\)

これは点 \(\small{ \ \mathrm{C} \left(\overrightarrow{ c }\right) \ }\)との距離が \(\small{ \ r \ }\)の点\(\small{ \ \mathrm{P}\left(\overrightarrow{ p }\right) \ }\)の集合だから点 \(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)を中心とする半径\(\small{ \ r \ }\)の円になる。

このように点\(\small{ \ \mathrm{P}\left(\overrightarrow{ p }\right) \ }\)の満たす条件式
・\(\small{ \ \overrightarrow{ p }= \overrightarrow{ a }+t \overrightarrow{ b } \ }\)
・\(\small{ \ \left| \overrightarrow{ p }- \overrightarrow{ c }\right|=r \ }\)
をベクトル方程式というから覚えておこう。