円周外の点から引いた円の接線の方程式

点\(\small{ \ \left(10, \ 2\right) \ }\)から\(\small{ \ \left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=25 \ }\)に引いた接線の方程式を求めよ。

(2)判別式を利用する
求める接線は\(\small{y}\)軸に平行な直線ではないから
\(\small{ \ \left(10, \ 2\right) \ }\)を通るので\(\small{ \ y=m\left(x-10\right)+2 \ }\)とおける。
これを円の方程式に代入すると

整理して

判別式を求めると
\(\small{\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{D}{4}&=&(10m^2-m+3)^2-(m^2+1)(100m^2-20m-15)\\
&=&-24m^2+14m+24\\
&=&-2(4m+3)(3m-4)
\end{eqnarray}}\)
円と直線が接するので判別式\(\small{ \ =0 \ }\)となればよい。
\(\small{ \ m=\displaystyle \frac{4}{3}, \ -\displaystyle \frac{3}{4} \ }\)
よって求める接線の方程式は
\(\small{ \ y=\displaystyle \frac{4}{3}x-\displaystyle \frac{34}{3} \ }\)、\(\small{ \ y=-\displaystyle \frac{3}{4}x-\displaystyle \frac{38}{4}}\)

(3)点と直線の距離を利用する

求める接線は\(\small{y}\)軸に平行な直線ではないから
\(\small{\left(10, \ 2\right)}\)を通るので\(\small{ \ y=m\left(x-10\right)+2 \ }\)とおける。
円の中心とこの直線との距離が半径と同じになれば円と直線は接するから
\(\small{\displaystyle \frac{|3m-1-10m+2|}{\sqrt{m^2+1}}=5}\)
\(\small{|-7m+1|=5\sqrt{m^2+1}}\)
両辺を二乗して
\(\small{(-7m+1)=25(m^2+1)}\)
\(\small{12m^2-7m-12=0}\)
\(\small{(4m+3)(3m-4)=0}\)
\(\small{m=\displaystyle \frac{4}{3}, \ -\displaystyle \frac{3}{4}}\)
よって求める接線の方程式は
\(\small{y=\displaystyle \frac{4}{3}x-\displaystyle \frac{34}{3} \ }\)、\(\small{ \ y=-\displaystyle \frac{3}{4}x-\displaystyle \frac{38}{4}}\)

円\(\small{ \ C \ }\)：\(\small{ \ x^2+y^2=5 \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{P}(3, \ 1) \ }\)がある。以下の問いに答えよ。
(1)円\(\small{ \ C \ }\)に点\(\small{ \ \mathrm{P}(3, \ 1) \ }\)から引いた接線の方程式を求めよ。また、接点と点\(\small{ \ \mathrm{P}(3, \ 1) \ }\)との長さも求めよ。
(2)\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)を通る直線\(\small{ \ y=m(x-3)+1 \ }\)が円\(\small{ \ C \ }\)と\(\small{ \ 2 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{N} \ }\)で交わるとき\(\small{ \ \mathrm{PM}\cdot \mathrm{PN} \ }\)の値を求めよ。
(3)(1)で求めた\(\small{ \ 2 \ }\)つの接線と円の交点（つまり接点）を通る直線の方程式は\(\small{ \ 3x+y=5 \ }\)であることを示せ。

(1)接点の座標を\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)とすると、接線の方程式は\(\small{ \ ax+by=5 \ }\)
これが点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)を通るので
\(\small{ \ 3a+b=5\cdots① \ }\)
また\(\small{ \ (a,b) \ }\)は円周上の点より
\(\small{ \ a^2+b^2=5\cdots② \ }\)
\(\small{①②}\)を連立して解くと\(\small{ \ (a,b)=(1, \ 2)、(2, \ -1) \ }\)
よって求める接線の方程式は
\(\small{ \ x+2y=5、2x-y=5 \ }\)
また接点と\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)との距離は
\(\small{ \ \sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5} \ }\)

(2)接点を\(\small{ \ \mathrm{T} \ }\)とすると方べきの定理より
\(\small{ \ \mathrm{PM}\cdot\mathrm{PN}=\mathrm{PT}^2 \ }\)が成り立つ。
よって\(\small{ \ \mathrm{PM}\cdot\mathrm{PN}=\mathrm{PT}^2=5 \ }\)

(3)接点の座標は\(\small{ \ (1, \ 2)、(2, \ -1) \ }\)より
これを通る直線は\(\small{ \ 3x+y=5 \ }\)である。