【文系必須】放物線と接線と面積

放物線\(\small{ \ C:y=x^2+2 \ }\)上に異なる\(\small{ \ 2 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A}(a, \ a^2+2) \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{B}(b, \ b^2+2) \ }\)(\(\small{ \ a\lt b \ }\))をとる。点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)における\(\small{ \ C \ }\)の接線と点\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)における\(\small{ \ C \ }\)の接線との交点を\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)とし、\(\small{ \ 2 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A}, \ \mathrm{B} \ }\)を通る直線と放物線\(\small{ \ C \ }\)で囲まれた図形の面積を\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)とする。
(1)点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の座標を求めよ。
(2)\(\small{ \ 2 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A}, \ \mathrm{B} \ }\)が\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)が\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{6} \ }\)を保って動くとき、点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)はどのような方程式で表される曲線上を動くか。
(3)点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)が原点を中心とする半径\(\small{ \ 1 \ }\)の円周上を動くとき、\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)を最大、最小にする点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の座標を求めよ。

(1)\(\small{ \ y=x^2+2 \ }\)を微分すると
\(\small{ \ y`=2x \ }\)より
点\(\small{ \ \mathrm{A}(a, \ a^2+2) \ }\)における接線の方程式は
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&2a(x-a)+a^2+2\\
&=&2ax-a^2+2 \ \end{eqnarray}}\)
点\(\small{ \ \mathrm{B}(b, \ b^2+2) \ }\)における接線の方程式は
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&2b(x-b)+b^2+2\\
&=&2bx-b^2+2 \ \end{eqnarray}}\)
点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の\(\small{ \ x \ }\)座標は
\(\small{ \ 2ax-a^2+2=2bx-b^2+2 \ }\)
\(\small{ \ 2(a-b)x=a^2-b^2 \ }\)
\(\small{ \ a \lt b \ }\)より\(\small{ \ x=\displaystyle\frac{a+b}{2} \ }\)
よって点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の\(\small{ \ y \ }\)座標は
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&2a\cdot\displaystyle\frac{a+b}{2}-a^2+2\\
&=&ab+2 \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \therefore \ \mathrm{P}\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}, \ ab+2\right) \ }\)

(2)\(\small{ \ 2 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A}, \ \mathrm{B} \ }\)を通る直線の方程式は
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&\displaystyle\frac{(b^2+2)-(a^2+2)}{b-a}(x-a)+a^2+2\\
&=&(a+b)x-ab+2 \ \end{eqnarray}}\)
この直線と放物線\(\small{ \ C \ }\)との交点の\(\small{ \ x \ }\)座標は\(\small{ \ x=a, \ b \ }\)だから
\(\small{ \begin{eqnarray}\ \mathrm{S}&=&\displaystyle \int_{a}^{b} \left[\left\{(a+b)x-ab+2\right\}-(x^2+2)\right] dx\\
&=&\displaystyle \int_{a}^{b} -(x-a)(x-b) dx\\
&=&\displaystyle\frac{1}{6}(b-a)^3 \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{1}{6} \ }\)より\(\small{ \ b-a=1 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{P}\left(x, \ y\right)&=&\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}, \ ab+2\right)\\
&=&\left(\displaystyle\frac{2a+1}{2},a^2+a+2\right) \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\displaystyle\frac{2a+1}{2}\cdots①\\
y=a^2+a+2\cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{①}\)より\(\small{ \ a=\displaystyle\frac{2x-1}{2} \ }\)
これを\(\small{②}\)に代入すると
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&\left(\displaystyle\frac{2x-1}{2}\right)^2+\displaystyle\frac{2x-1}{2}+2\\
&=&x^2+\displaystyle\frac{7}{4} \ \end{eqnarray}}\)
よって求める方程式は\(\small{ \ y=x^2+\displaystyle\frac{7}{4} \ }\)

(3)\(\small{ \ \mathrm{P}(x, \ y)=\left(\displaystyle\frac{a+b}{2},ab+2\right) \ }\)とすると、
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+b=2x\\
ab=y-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
またこの点は原点を中心とする半径\(\small{ \ 1 \ }\)の円周上を動くから
\(\small{ \ x^2+y^2=1 \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{1}{6}(b-a)^3 \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}&=&\displaystyle\frac{1}{6}(b-a)^3\\
&=&\displaystyle\frac{1}{6}\left\{(b-a)^2\right\}^{\tiny{\displaystyle\frac{3}{2}}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{6}\left\{(b+a)^2-4ab\right\}^{\tiny{\displaystyle\frac{3}{2}}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{6}\left\{(2x)^2-4(y-2)\right\}^{\tiny{\displaystyle\frac{3}{2}}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{6}(4x^2-4y+8)^{\tiny{\displaystyle\frac{3}{2}}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{6}\left\{4(1-y^2)-4y+8\right\}^{\tiny{\displaystyle\frac{3}{2}}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{6}\left\{-4\left(y+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+13\right\}^{\tiny{\displaystyle\frac{3}{2}}} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ -1\leqq y \leqq 1 \ }\)より
\(\small{ \ y=-\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)のとき\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)は最大
\(\small{ \ y=1 \ }\)のとき\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)は最小
\(\small{ \ y=-\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)のとき\(\small{ \ x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)
\(\small{ \ y=1 \ }\)のとき\(\small{ \ x=0 \ }\)
よって
\(\small{ \ \mathrm{P}\left(\pm\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}, \ -\displaystyle\frac{1}{2}\right) \ }\)のとき最大
\(\small{ \ \mathrm{P}\left(0, \ 1\right) \ }\)のとき最小