空間ベクトルの内積

二つのベクトル\(\small{ \ \vec{a}=(1, \ 2, \ 3) \ }\)、\(\small{ \ \vec{b}=(1, \ -2, \ 1) \ }\)の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。

\(\small{ \ \vec{a} \ }\)、\(\small{ \ \vec{b} \ }\)に垂直な単位ベクトルを\(\small{ \ \vec{p}=(x, \ y, \ z) \ }\)とすると
\(\small{ \ \vec{a}\cdot\vec{p}=0 \ }\)より
\(\small{ \ x+2y+3z=0\cdots① \ }\)
\(\small{ \ \vec{b}\cdot\vec{p}=0 \ }\)より
\(\small{ \ x-2y+z=0\cdots② \ }\)
\(\small{ \ \vec{p} \ }\)は単位ベクトルより
\(\small{ \ x^2+y^2+z^2=1\cdots③ \ }\)
\(\small{ \ ①②③ \ }\)を連立して解くと
\(\small{ \ \vec{p}=\pm\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}, \ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}, \ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \ }\)

外積を使って考えてみると
\(\small{ \ \vec{a}=(2, \ 1, \ -3) \ }\)、\(\small{ \ \vec{b}=(1, \ -2, \ 1) \ }\)のとき

外積\(\small{ \ \vec{a}\times \vec{b} \ }\)は\(\small{ \ \vec{a} \ }\)、\(\small{ \ \vec{b} \ }\)に垂直なので、このベクトルの単位ベクトルが求める値になる
\(\small{ \ \displaystyle\frac{(-5, \ -5, \ -5)}{\sqrt{(-5)^2+(-5)^2+(-5)^2}}\\
=\left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}, \ -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}, \ -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \ }\)
垂直なベクトルは逆向きもあるから求めるベクトルは
\(\small{ \ \pm\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}, \ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}, \ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \ }\)

空間の\(\small{ \ 3 \ }\)つのベクトル\(\small{ \ \vec{a} \ }\)、\(\small{ \ \vec{b} \ }\)、\(\small{ \ \vec{c} \ }\)に対して、\(\small{ \ \vert\vec{a}\vert=6 \ }\)、\(\small{ \ \vert\vec{c}\vert=1 \ }\)、\(\small{ \ \vec{a} \ }\)と\(\small{ \ \vec{b} \ }\)のなす角は\(\small{ \ 60^{\circ} \ }\)である。また、\(\small{ \ \vec{a} \ }\)と\(\small{ \ \vec{c} \ }\)、\(\small{ \ \vec{b} \ }\)と\(\small{ \ \vec{c} \ }\)、\(\small{ \ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \ }\)と\(\small{ \ 2\vec{a}-5\vec{b} \ }\)はどれも垂直である。
\(\small{ \ \vert\vec{b}\vert \ }\)、\(\small{ \ \vert\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\vert \ }\)を求めよ。

\(\small{ \ \vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos60^{\circ}=3\vert\vec{b}\vert\cdots① \ }\)
\(\small{ \ \vec{a}\cdot\vec{c}=0\cdots② \ }\)
\(\small{ \ \vec{b}\cdot\vec{c}=0\cdots③ \ }\)
\(\small{ \ \left(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\right)\cdot\left(2\vec{a}-5\vec{b}\right)=0\cdots④ \ }\)
\(\small{ \ ④ }\)より
\(\small{ \ 2\vert\vec{a}\vert^2-5\vert\vec{b}\vert^2-3\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{a}\cdot\vec{c}-5\vec{b}\cdot\vec{c}=0 \ }\)
\(\small{ \ 72-5\vert\vec{b}\vert^2-9\vert\vec{b}\vert=0 \ }\)
\(\small{ \ 5\vert\vec{b}\vert^2+9\vert\vec{b}\vert-72=0 \ }\)
\(\small{ \ \left(\vert\vec{b}\vert-3\right)\left(5\vert\vec{b}\vert+24\right)=0 \ }\)
\(\small{ \ \vert\vec{b}\vert\gt0 \ }\)より\(\small{ \ \vert\vec{b}\vert=3 \ }\)

\(\small{ \ \vert\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\vert^2\\
=\vert\vec{a}\vert^2+\vert\vec{b}\vert^2+\vert\vec{c}\vert^2+2\left(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{a}\cdot\vec{c}\right)\\
=36+9+1+2\times9\\
=64 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \vert\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\vert=8 \ }\)

\(\small{ \ 1 \ }\)辺の長さが\(\small{ \ 1 \ }\)の正四面体\(\small{ \ \mathrm{OABC} \ }\)において、\(\small{ \ 2 \ }\)辺\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{OC} \ }\)の中点をそれぞれ\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{N} \ }\)とする。次の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{MN}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{BN}} \ }\)の内積を求めよ。
(2)\(\small{ \ \angle \mathrm{BNM}=\theta \ }\)とするとき、\(\small{ \ \cos\theta \ }\)の値を求めよ。

(1)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\displaystyle\frac{1}{2 }\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\displaystyle\frac{1}{2 }\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{MN}}&=&\overrightarrow{\mathrm{ON}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2 }\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\displaystyle\frac{1}{2 }\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{BN}}&=&\overrightarrow{\mathrm{ON}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2 }\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ 1 \ }\)辺が\(\small{ \ 1 \ }\)の正四面体だから
\(\small{ \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert= \vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert= \vert \overrightarrow{\mathrm{OC}} \vert=1 \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)

(2)
\(\small{ \ \cos\theta=\displaystyle\frac{ \overrightarrow{\mathrm{MN}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BN}} }{ \vert \overrightarrow{\mathrm{MN}} \vert \vert \overrightarrow{\mathrm{BN}} \vert } \ }\)

\(\small{ \ \vert \overrightarrow{\mathrm{BN}} \vert^2\\
=\displaystyle\frac{1}{4}\vert\overrightarrow{\mathrm{OC}}-2\overrightarrow{\mathrm{OB}}\vert^2\\
=\displaystyle\frac{1}{4}\left(4\vert\overrightarrow{\mathrm{OB}}\vert^2+\vert\overrightarrow{\mathrm{OC}}\vert^2-4\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)\\
=\displaystyle\frac{3}{4} \ }\)
\(\small{ \ \cos\theta=\displaystyle\frac{ \overrightarrow{\mathrm{MN}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BN}} }{ \vert \overrightarrow{\mathrm{MN}} \vert \vert \overrightarrow{\mathrm{BN}} \vert }\\
=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\\[14pt] =\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3} \ }\)