空間ベクトルと平面の方程式

\(\small{ \ \mathrm{A}(1, \ 2, \ 2) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(4, \ -2, \ 8) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(-2, \ 3, \ 5) \ }\)を通る平面の方程式を求めよ。

\(\small{ \ \mathrm{A}(1, \ 2, \ 2) \ }\)を通る平面の方程式は

これは\(\small{ \ \mathrm{B}(4, \ -2, \ 8) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(-2, \ 3, \ 5) \ }\)を通るから代入すると
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3a-4b+6c=0\cdots②\\
-3a+b+3c=0\cdots③
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\ }\)
\(\small{ \ ②+③ \ }\)より\(\small{ \ -3b+9c=0 \ }\)\(\small{ \ \therefore b=3c\cdots④ \ }\)
\(\small{ \ ④ \ }\)を\(\small{ \ ② \ }\)に代入して
\(\small{ \ 3a-4(3c)+6c=0 \ }\)
\(\small{ \ 3a-6c=0 \ }\)\(\small{ \ \therefore a=2c\cdots⑤ \ }\)
\(\small{ \ ④, \ ⑤ \ }\)を\(\small{ \ ① \ }\)に代入
\(\small{ \ 2c(x-1)+3c(y-2)+c(z-2)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 2x+3y+z-10=0 \ }\)

\(\small{ \ \mathrm{A}(1, \ 2, \ 2) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(4, \ -2, \ 8) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(-2, \ 3, \ 5) \ }\)のとき、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)に垂直なベクトルのうち、最も簡単な整数のベクトルを求めよ。

\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{AB}}&=&\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\\
&=&4, \ -2, \ 8)-(1, \ 2, \ 2)\\
&=&(3, \ -4, \ 6) \ \end{eqnarray} }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{AC}}&=&\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\\
&=&(-2, \ 3, \ 5)-(1, \ 2, \ 2)\\
&=&(-3, \ 1, \ 3) \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)に垂直なベクトルを\(\small{ \ \overrightarrow{n}=(a, \ b, \ c) \ }\)とすると
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{n}=0 \ }\)
\(\small{ \ (3, \ -4, \ 6)\cdot(a, \ b, \ c)=0 \ }\)
\(\small{ \ 3a-4b+6c=0\cdots① \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{n}=0 \ }\)
\(\small{ \ (-3, \ 1, \ 3)\cdot(a, \ b, \ c)=0 \ }\)
\(\small{ \ -3a+b+3c=0\cdots② \ }\)
\(\small{ \ ①+② \ }\)より
\(\small{ \ -3b+9c=0 \ }\)より\(\small{ \ b=3c \ }\)
よって\(\small{ \ a=2c \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{n}&=&(a, \ b, \ c)\\
&=&(2c, \ 3c, \ c) \ \end{eqnarray}}\)
一番簡単な整数比のベクトルは\(\small{ \ (2, \ 3, \ 1) \ }\)

\(\small{ \ \mathrm{A}(1, \ 2, \ 2) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(4, \ -2, \ 8) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(-2, \ 3, \ 5) \ }\)のとき、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ }\)から平面の方程式を求めよ。

\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ }\)

\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)は平面\(\small{ \ \mathrm{ABC} \ }\)上にあるから
\(\small{ \ s+t+u=1 \ }\)

\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=1+3t-3u\cdots① \\
y=2-4t+u\cdots② \\
z=2+6t+3u\cdots③
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ ①+②\times3 \ }\)より
\(\small{ \ t=-\displaystyle\frac{x+3y-7}{9}\cdots④ \ }\)
\(\small{ \ ④ \ }\)を\(\small{ \ ② \ }\)に代入して
\(\small{ \ u=-\displaystyle\frac{4}{9}x-\displaystyle\frac{1}{3}y+\displaystyle\frac{10}{9}\cdots⑤ \ }\)
\(\small{ \ ④, \ ⑤ \ }\)を\(\small{ \ ③ \ }\)に代入して

これを整理して
\(\small{ \ 2x+3y+z-10=0 \ }\)

\(\small{ \ \def\cenBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\cenbox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }} \ }\)空間座標において\(\small{ \ 3 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A}(1, \ 0, \ 0) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(0, \ 2, \ 0) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(0, \ 0, \ 3) \ }\)を通る平面を\(\small{ \ \alpha \ }\)とする。\(\small{ \ \alpha \ }\)に関して原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{D} \ }\)の座標は\(\small{ \ \cenbox{①} \ }\)であり、三角形\(\small{ \ \mathrm{OCD} \ }\)の面積は\(\small{ \ \cenbox{②} \ }\)である。

平面\(\small{ \ \alpha \ }\)の方程式は
\(\small{ \ \displaystyle \frac{x}{1}+\displaystyle \frac{y}{2}+\displaystyle \frac{z}{3}=1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 6x+3y+2z-6=0 \ }\)

原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)から平面\(\small{ \ \alpha \ }\)に下ろした垂線の足を\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{OD}}&=&-2\overrightarrow{\mathrm{HO}}\\
&=&-2\cdot\displaystyle \frac{-6}{6^2+3^2+2^2}(6, \ 3, \ 2)\\
&=&\displaystyle \frac{12}{49}(6, \ 3, \ 2) \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ \therefore \ \mathrm{D}\left(\displaystyle \frac{72}{49}, \ \displaystyle \frac{36}{49}, \ \displaystyle \frac{24}{49}\right) \ }\)
\(\small{ \ \vert\overrightarrow{\mathrm{OC}}\vert=3 \ }\)、\(\small{ \ \vert\overrightarrow{\mathrm{OD}}\vert=\displaystyle \frac{12}{7} \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\displaystyle \frac{72}{49} \ }\)