空間ベクトルを利用した四面体の体積の求め方（成分表示）

原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)と\(\small{ \ 3 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A}(1, \ -2, \ 3) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(-1, \ 2, \ 3) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(1, \ 2, \ -3) \ }\)を頂点とする四面体\(\small{ \ \mathrm{OABC} \ }\)の体積を求めよ。

原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)から平面\(\small{ \ \mathrm{ABC} \ }\)に下ろした垂線の足を\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)とすると

\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)は平面\(\small{ \ \mathrm{ABC} \ }\)より
\(\small{ \ s+t+u=1\cdots① \ }\)
平面\(\small{ \ \mathrm{ABC} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OH}} \ }\)は垂直より
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0 \ }\)

\(\small{ \ -5s+5t+3u=0\cdots② \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=0 \ }\)

\(\small{ \ -13s-5t+13u=0\cdots③ \ }\)
\(\small{ \ ①, \ ②, \ ③ \ }\)を解いて
\(\small{ \ s=\displaystyle\frac{20}{49}, \ t=\displaystyle\frac{13}{98}, \ u=\displaystyle\frac{45}{98} \ }\)
これより
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\left(\displaystyle\frac{36}{49}, \ \displaystyle\frac{18}{49}, \ \displaystyle\frac{12}{49}\right) \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|&=&\left|\displaystyle\frac{6}{49}\left(6, \ 3, \ 2\right)\right|\\
&=&\displaystyle\frac{6}{49}\sqrt{6^2+3^2+2^2}\\
&=&\displaystyle\frac{6}{7} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2, \ 4, \ 0) \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(0, \ 4, \ -6) \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\\
\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\sqrt{4^2+(-6)^2}=2\sqrt{13}\\
\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=16
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{V}&=&\displaystyle\frac{1}{3}\times14\times\displaystyle\frac{6}{7}\\
&=&4 \ \end{eqnarray}}\)

点\(\small{ \ \mathrm{A}(1, \ -2, \ 3) \ }\)を通る平面の方程式は
\(\small{ \ a(x-1)+b(y+2)+c(z-3)=0 \ }\)
これは\(\small{ \ \mathrm{B}(-1, \ 2, \ 3) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(1, \ 2, \ -3) \ }\)も通るので
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
-2a+4b=0\\
4b-6c=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=2b=3c \ }\)
よって\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C} \ }\)を通る平面の方程式は
\(\small{ \ 6x+3y+2z-6=0 \ }\)
この平面の法線ベクトルは\(\small{ \ (6, \ 3, \ 2) \ }\)
原点を通りこの法線ベクトルに平行な直線と平面\(\small{ \ \mathrm{ABC} \ }\)の交点が垂線の足となる
直線上の点は媒介変数\(\small{ \ t \ }\)を利用して
\(\small{\begin{eqnarray} \ (x, \ y, \ z)&=&t(6, \ 3, \ 2)\\
&=&(6t, \ 3t, \ 2t) \ \end{eqnarray}}\)
これを平面の方程式に代入すると

\(\small{ \ t=\displaystyle\frac{6}{49} \ }\)
よって垂線の長さは
\(\small{ \ \displaystyle\frac{6}{49}\times \vert(6, \ 3, \ 2)\vert=\displaystyle\frac{6}{7} \ }\)
\(\small{ \ \triangle\mathrm{ABC} \ }\)の面積は
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2, \ 4, \ 0) \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(0, \ 4, \ -6) \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\\
\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\sqrt{4^2+(-6)^2}=2\sqrt{13}\\
\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=16
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

よって求める体積は
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{V}&=&\displaystyle\frac{1}{3}\times14\times\displaystyle\frac{6}{7}\\
&=&4 \ \end{eqnarray}}\)