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指数関数を含む不等式の解き方

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は指数関数を含む不等式の解き方について学習していこう。

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指数関数を含む不等式の解き方

指数関数を含む不等式を解く場合、指数関数を含む方程式の解き方と同じで、いきなり\(\small{ \ x\gt3 \ }\)みたいに答えが出るわけじゃない。

まずは\(\small{ \ 2^x\gt8 \ }\)っていうのが求まってから\(\small{ \ x\gt3 \ }\)って答えが求まる。まずはこのことを頭に入れておこう。

指数関数を含む不等式の解き方

①\(\small{ \ a^x\leqq a^p \ }\)
(i)\(\small{ \ a\gt1 \ }\)のとき\(\small{ \ x\leqq p \ }\)
(ii)\(\small{ \ 0\lt a\lt 1 \ }\)のとき\(\small{ \ x\geqq p \ }\)

②\(\small{ \ 2^{2x}+2^{x+1}-3\geqq0 \ }\)
\(\small{ \ 2^x=t \ }\)として
\(\small{ \ t^2+2t-3\geqq 0 \ }\)を解く

③\(\small{ \ 4^{x}+4^{-x}+2^x+2^{-x}\lt0 \ }\)
\(\small{ \ 2^x+2^{-x}=t \ }\)として
\(\small{ \ t^2+t-2\lt0 \ }\)を解く

指数を含む不等式の基本

最初に言ったけど指数関数を含む不等式はまず\(\small{ \ 2^x\geqq8 \ }\)を求めて、そこから\(\small{ \ 2^x\geqq2^3 \ }\)に変形して底\(\small{ \ 2\gt1 \ }\)より\(\small{ \ x\geqq3 \ }\)って求めるのが基本なんだ。

point
底の大きさによって不等号の向きが変わるんだったよね。これをきちんと理解できていない人は指数関数のグラフをもう一度確認しておこう。
▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

だからまずは\(\small{ \ a^x\geqq p \ }\)の形にすることが大切なんだ。この\(\small{ \ a^x\geqq p \ }\)の形を常に解けるようにしよう。

例題を確認
問題解答

次の不等式を解け。
(1)\(\small{ \ 2^x\leqq 4^{x-2} \ }\)
(2)\(\small{ \ (0.2)^{2x-1}\geqq\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{25}} \ }\)
(3)\(\small{ \ 2^x\geqq 3 \ }\)
(4)\(\small{ \ \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^x\geqq 3 \ }\)

(1)\(\small{ \ 2^x\leqq 4^{x-2} \ }\)
\(\small{ \ 2^x\leqq 2^{2(x-2)} \ }\)
\(\small{ \ x\leqq 2(x-2) \ }\)
\(\small{ \ \therefore x\geqq4 \ }\)

(2)\(\small{ \ (0.2)^{2x-1}\geqq\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{25}} \ }\)
\(\small{ \ (5^{-1})^{2x-1}\geqq 5^{-\frac{2}{3}} \ }\)
\(\small{ \ 5^{-2x+1}\geqq 5^{-\frac{2}{3}} \ }\)
\(\small{ \ -2x+1 \geqq -\displaystyle\frac{2}{3} \ }\)
\(\small{ \ x \leqq \displaystyle\frac{5}{6} \ }\)

(3)\(\small{ \ 2^x\geqq3 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x\geqq \log_23 \ }\)

指数関数を含む不等式の解き方-01

(4)\(\small{ \ \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^x\geqq3 \ }\)
\(\small{ \therefore x\leqq \log_{\frac{1}{2}}3 \ }\)

指数関数を含む不等式の解き方-02

point
答えに対数が必要なものはグラフで答えたけど、元の不等式の対数をとるって方法もある。その時対数の底は指数関数の底と同じ数にしよう。
\(\small{ \ 2^x\geqq3 \ }\)
底\(\small{ \ 2 \ }\)の対数をとると
\(\small{ \ \log_22^x\geqq \log_23 \ }\)
\(\small{ \ x\geqq \log_23 \ }\)

\(\small{ \ \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^x\geqq3 \ }\)
底\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{2} \ }\)の対数をとると
\(\small{ \ \log_{\frac{1}{2}}\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^x\geqq \log_{\frac{1}{2}}3 \ }\)
\(\small{ \ x\leqq \log_{\frac{1}{2}}3 \ }\)
このままでもいいけど底を変換して
\(\small{ \ \therefore x\leqq -\log_23 \ }\)
対数は底が自然数の方がどれくらいの値になのか考えやすいよね。

対数も底の大きさによって不等号の向きが変わるから注意しよう。

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指数関数と二次不等式

次は指数を置換して二次不等式にする問題について考えていこう。
まずは以前書いた指数の置換について確認しておこう。

▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

上の記事や指数関数を含む方程式の解き方と同じで置換するのは\(\small{ \ t=a^x \ }\)か\(\small{ \ t=a^x+a^{-x} \ }\)になる。

\(\small{ \ t=2^x \ }\)として\(\small{ \ t \ }\)の二次不等式になる場合、元の式には\(\small{ \ 4^x \ }\)や\(\small{ \ 2^{2x} \ }\)、\(\small{ \ \left(2^x\right)^2 \ }\)が入っているはずだからね。

\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)として\(\small{ \ t \ }\)の二次不等式になる場合は、元の式には\(\small{ \ 4^x+4^{-x} \ }\)や\(\small{ \ 2^{2x}+2^{-2x} \ }\)、\(\small{ \ \left(2^x\right)^2+\left(2^{-x}\right)^2 \ }\)が入っているはず。

最初に言ったように、いきなり\(\small{ \ x\geqq3 \ }\)を求めるんじゃなくて\(\small{ \ 2^x\geqq 8 \ }\)を求めたいわけだから、どの文字を置けばいいか考えて問題を解こう。

例題を確認
問題解答

次の不等式を解け。
(1)\(\small{ \ 4^x+2^{x+1}-3\leqq0 \ }\)
(2)\(\small{ \ 9^x+9^{-x}-3^x-3^{-x}\leqq4 \ }\)

(1)\(\small{ \ 4^x+2^{x+1}-3\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ t=2^x \ }\)とおく(\(\small{ \ t\gt0 \ }\))
\(\small{ \ t^2+2t-3\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ (t+3)(t-1)\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ t\gt0 \ }\)より\(\small{ \ 0\lt t \leqq 1 \ }\)
\(\small{ \ 0\lt 2^x\leqq1 \ }\)より\(\small{ \ x\leqq0 \ }\)

(2)\(\small{ \ 9^x+9^{-x}-3^x-3^{-x}-4\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ t=3^x+3^{-x} \ }\)とおく(\(\small{ \ t\geqq2 \ }\))
\(\small{ \ t^2-t-6\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ (t+2)(t-3)\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ t\geqq2 \ }\)より\(\small{ \ 2\leqq t\leqq3 \ }\)
\(\small{ \ a=3^x \ }\)とおくと(\(\small{ \ a\gt0 \ }\))
すべての実数\(\small{ \ x \ }\)で\(\small{ \ t\geqq2 \ }\)を満たすので
\(\small{ \ a+\displaystyle\frac{1}{a}\leqq 3 \ }\)を考えればよい
\(\small{ \ a^2+1\leqq3a \ }\)
\(\small{ \ a^2-3a+1\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}\leqq a \leqq \displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}\leqq 3^x \leqq \displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \log_3\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}\leqq x \leqq \log_3\displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2} \ }\)

point
\(\small{ \ a^x\gt0 \ }\)や\(\small{ \ a^x+a^{-x}\geqq2 \ }\)を満たす\(\small{ \ x \ }\)はすべての実数が解になるから、この不等式はわざわざ解く必要はないから注意しよう。

\(\small{ \ 0\lt a^x\lt a^2 \ }\)を\(\small{ \ 1\lt x \lt2 \ }\)って書く人たまに見かけるからね。これは間違い。\(\small{ \ 0\lt a^x\lt a^2 \ }\)は\(\small{ \ x\lt2 \ }\)だから注意しよう。

Point 指数関数を含む不等式の解き方

①置換して二次不等式へ変換する
②置換した文字の範囲を考える

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ a\gt0 \ (a\neq1) \ }\)のとき
\(\small{ \ a^{2x}-a^{x+2}-a^{-x-2}+1\leqq0 \ }\)を解け

\(\small{ \ a^{2x}-a^{x+2}-a^{x-2}+1\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ a^{2x}-a^2a^{x}-\displaystyle\frac{1}{a^2}a^{x}+1\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ a^{2x}-\left(a^2+\displaystyle\frac{1}{a^2}\right)a^{x}+1\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ a^x=t \ }\)とすると
\(\small{ \ t^{2}-\left(a^2+\displaystyle\frac{1}{a^2}\right)t+1\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ t^{2}-\left(a^2+\displaystyle\frac{1}{a^2}\right)t+1\leqq0 \ }\)
\(\small{ \ \left(t-a^2\right)\left(t-\displaystyle\frac{1}{a^2}\right)\leqq0 \ }\)
(i)\(\small{ \ a\gt1 \ }\)のとき
\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{a^2}\leqq t \leqq a^2 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{a^2}\leqq a^x \leqq a^2 \ }\)
\(\small{ \ -2 \leqq x \leqq 2 \ }\)(\(\small{ \ \because \ a\gt1 \ }\))
(ii)\(\small{ \ 0\lt a \lt 1 \ }\)のとき
\(\small{ \ a^2\leqq t \leqq\displaystyle\frac{1}{a^2} \ }\)
\(\small{ \ a^2\leqq a^x \leqq\displaystyle\frac{1}{a^2} \ }\)
\(\small{ \ -2 \leqq x \leqq 2 \ }\)(\(\small{ \ \because \ 0\lt a \lt1 \ }\))
(I)(ii)より\(\small{ \ -2 \leqq x \leqq 2 \ }\)

point
\(\small{ \ a^x, \ a^{2x} \ }\)を見たら\(\small{ \ a^x=t \ }\)とおいて二次不等式に変形しよう。\(\small{ \ a^x\leqq a^p \ }\)は\(\small{ \ a \ }\)が\(\small{ \ 1 \ }\)より大きいか小さいかによって不等号の向きが変わるから場合分けを忘れないようにしよう。

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