指数・対数関数

指数関数を含む方程式の解き方

2019年8月7日

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は指数関数を含む方程式の解き方について学習していこう。

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指数関数を含む方程式の解き方

指数関数を含む方程式を解く場合、いきなり\(\small{ \ x=3 \ }\)みたいに答えが出るわけじゃない。

まずは\(\small{ \ 2^x=8 \ }\)っていうのが求まってから\(\small{ \ x=3 \ }\)って答えが求まるんだ。まずはこのことを頭に入れておこう。

指数関数を含む方程式の解き方

①\(\small{ \ a^x=a^p \ }\)から\(\small{ \ x=p \ }\)

②\(\small{ \ 2^{2x}+2^{x+1}-3=0 \ }\)
\(\small{ \ 2^x=t \ }\)として
\(\small{ \ t^2+2t-3=0 \ }\)を解く

③\(\small{ \ 4^{x}+4^{-x}+2^x+2^{-x}=0 \ }\)
\(\small{ \ 2^x+2^{-x}=t \ }\)として
\(\small{ \ t^2+t-2=0 \ }\)を解く

指数を含む方程式の基本

最初に言ったけど指数関数を含む方程式はまず\(\small{ \ 2^x=8 \ }\)を求めて、そこから\(\small{ \ 2^x=2^3 \ }\)に変形して\(\small{ \ x=3 \ }\)って求めるのが基本なんだ。

だから\(\small{ \ a^x=p \ }\)の形にすることがまずは大切なんだ。この\(\small{ \ a^x=p \ }\)の形を常に解けるようにしよう。

例題を確認
問題解答

次の方程式を解け。
(1)\(\small{ \ 2^x=4^{x-2} \ }\)
(2)\(\small{ \ 2^x=3 \ }\)
(3)\(\small{ \ 2^x=-3 \ }\)

(1)\(\small{ \ 2^x=4^{x-2} \ }\)
\(\small{ \ 2^x=2^{2(x-2)} \ }\)
\(\small{ \ x=2(x-2) \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=4 \ }\)

(2)\(\small{ \ 2^x=3 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=\log_23 \ }\)

(3)\(\small{ \ 2^x=-3 \ }\)
\(\small{ \ 2^x\gt0 \ }\)より解なし

point
指数関数だけ教わって、まだ対数関数を教わってない人は(2)は解けないけど、どうせ指数関数の次に対数関数を教わるからここまできちんと理解しておこう。
\(\small{ \ a^N=b \iff \log_ab=N \ }\)

つまり対数を知らないと\(\small{ \ 2^x=2^p \ }\)の形しか解けないけど、対数を教わることで\(\small{ \ 2^x=p \ (p\gt0) \ }\)の形も解くことが出来るんだ。

指数関数と二次方程式

次は指数を置換して二次方程式にする問題について考えていこう。
まずは以前書いた指数の置換について確認しておこう。

▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

上の記事にもあるように基本的に置換するのは\(\small{ \ t=a^x \ }\)か\(\small{ \ t=a^x+a^{-x} \ }\)。

\(\small{ \ t=2^x \ }\)として\(\small{ \ t \ }\)の二次方程式になる場合、元の式には\(\small{ \ 4^x \ }\)や\(\small{ \ 2^{2x} \ }\)、\(\small{ \ \left(2^x\right)^2 \ }\)が入っているはずだからね。

\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)として\(\small{ \ t \ }\)の二次方程式になる場合は、元の式には\(\small{ \ 4^x+4^{-x} \ }\)や\(\small{ \ 2^{2x}+2^{-2x} \ }\)、\(\small{ \ \left(2^x\right)^2+\left(2^{-x}\right)^2 \ }\)が入っているはず。

最初に言ったようにいきなり\(\small{ \ x=3 \ }\)を求めるんじゃなくて\(\small{ \ 2^x=8 \ }\)を求めたいわけだから、どの文字を置けばいいか考えて問題を解こう。

例題を確認
問題解答

次の方程式を解け。
(1)\(\small{ \ 4^x+2^{x+1}-3=0 \ }\)
(2)\(\small{ \ 9^x+9^{-x}-3^x-3^{-x}=0 \ }\)
(3)\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2^x+2^y=6 \\
2^{x+y} =8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

(1)\(\small{ \ 4^x+2^{x+1}-3=0 \ }\)
\(\small{ \ t=2^x \ }\)とおく(\(\small{ \ t\gt0 \ }\))
\(\small{ \ t^2+2t-3=0 \ }\)
\(\small{ \ (t+3)(t-1)=0 \ }\)
\(\small{ \ t\gt0 \ }\)より\(\small{ \ t=1 \ }\)
\(\small{ \ 2^x=1 \ }\)より\(\small{ \ x=0 \ }\)

(2)\(\small{ \ 9^x+9^{-x}-3^x-3^{-x}=0 \ }\)
\(\small{ \ t=3^x+3^{-x} \ }\)とおく(\(\small{ \ t\geqq2 \ }\))
\(\small{ \ t^2-t-2=0 \ }\)
\(\small{ \ (t-2)(t+1)=0 \ }\)
\(\small{ \ t\geqq2 \ }\)より\(\small{ \ t=2 \ }\)
\(\small{ \ 3^x+3^{-x}=2 \ }\)
\(\small{ \ a=3^x \ }\)とおく(\(\small{ \ a\gt0 \ }\))
\(\small{ \ a+\displaystyle\frac{1}{a}=2 \ }\)
\(\small{ \ a^2+1=2a \ }\)
\(\small{ \ (a-1)^2=0 \ }\)より\(\small{ \ a=1 \ }\)
\(\small{ \ 3^x=1 \ }\)より\(\small{ \ x=0 \ }\)

(3)\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2^x+2^y=6 \\
2^{x+y} =8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ X=2^x, \ Y=2^y \ }\)とおく(\(\small{ \ X\gt0, \ Y\gt0 \ }\))
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
X+Y=6 \\
XY =8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ Y=6-X \ }\)より\(\small{ \ X(6-x)=8 \ }\)
\(\small{ \ X^2-6X+8=0 \ }\)
\(\small{ \ (X-2)(X-4)=0 \ }\)
\(\small{ \ X=2, \ 4 \ }\)
\(\small{ \ (X, \ Y)=(2, \ 4), \ (4, \ 2) \ }\)
\(\small{ \ (2^x, \ 2^y)=(2, \ 4), \ (4, \ 2) \ }\)
\(\small{ \ \therefore(x, \ y)=(1, \ 2), \ (2, \ 1) \ }\)

point
\(\small{ \ t=3^x+3^{-x} \ }\)とおいて\(\small{ \ t \ }\)を求めたら、\(\small{ \ x \ }\)を求めるためにもう一度\(\small{ \ 3^x \ }\)をおいて\(\small{ \ x \ }\)を求めよう。

指数を含む連立方程式も何を置けばいいのか考えて問題を解こう。あと置換したら範囲を必ず考えるようにね。

Point 指数関数を含む方程式の解き方

①置換して二次方程式へ変換する
②置換した文字の範囲を考える

次は入試レベルの問題にチャレンジ!
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ 4^x+4^{-x}+a\left(2^x+2^{-x}\right)+6-a=0 \ }\)
この方程式が解を\(\small{ \ 4 \ }\)つもつための\(\small{ \ a \ }\)の値の範囲を求めよ。

\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)とおくと(\(\small{ \ t\geqq2 \ }\))
\(\small{ \ t^2+at+4-a=0 \ }\)
ここで
\(\small{ \ t\lt2 \ }\)を満たす\(\small{ \ x \ }\)は存在しない
\(\small{ \ t=2 \ }\)のとき\(\small{ \ x=0 \ }\)
\(\small{ \ t\gt2 \ }\)を満たす\(\small{ \ x \ }\)は\(\small{ \ 2 \ }\)個存在する
よって\(\small{ \ 4^x+4^{-x}+a\left(2^x+2^{-x}\right)+6-a=0 \ }\)が\(\small{ \ 4 \ }\)つの解を持つためには\(\small{ \ t^2+at+4-a=0 \ }\)が\(\small{ \ t\gt2 \ }\)に\(\small{ \ 2 \ }\)つの解をもてばよい
\(\small{ \ t^2+at+4-a=0 \ }\)の判別式を\(\small{ \ D \ }\)、\(\small{ \ f(t)=t^2+at+4-a \ }\)とすると
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
D=a^2-4(4-a)\gt0\\
-\displaystyle\frac{a}{2}\gt2\\
f(2)=a+8\gt0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)を満たせばよい
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a\lt-2-2\sqrt{5}, \ a\gt-2+2\sqrt{5}\\
a\lt-4\\
a\gt-8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
よって求める\(\small{ \ a \ }\)の値の範囲は
\(\small{ \ -8\lt a\lt-2-2\sqrt{5} \ }\)

point
\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)のグラフを想像したら\(\small{ \ t=2 \ }\)のとき\(\small{ \ x \ }\)は\(\small{ \ x=0 \ }\)の\(\small{ \ 1 \ }\)個だけ、\(\small{ \ t\gt2 \ }\)のとき\(\small{ \ x \ }\)は\(\small{ \ 2 \ }\)個あるよね。
指数関数を含む方程式の解き方-01
あとは解の配置の問題になるから、二次方程式の解の配置の解き方は確実におさえておこう。
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