こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は指数関数のグラフとその利用について学習していこう。
指数関数のグラフ
指数関数\(\small{ \ y=a^x \ }\)は\(\small{ \ a\gt1 \ }\)と\(\small{ \ 0\lt a \lt 1 \ }\)でグラフが全然違うよね。\(\small{ \ a\gt1 \ }\)のときはグラフは単調増加、\(\small{ \ 0\lt a \lt 1 \ }\)のときグラフは単調減少になるからね。今回はグラフを利用した問題について考えていこう。
\(\small{ \ y=a^x \ }\)は\(\small{ \ (0, \ 1) \ }\)を通る
\(\small{ \ a\gt1 \ }\)ならグラフは単調増加
\(\small{ \ 0\lt a \lt1 \ }\)ならグラフは単調減少
\(\small{ \ a^p\lt a^q \ }\)のとき
\(\small{ \ a\gt1 \ }\)なら\(\small{ \ p\lt q \ }\)
\(\small{ \ 0\lt a\lt1 \ }\)なら\(\small{ \ p\gt q \ }\)
指数関数のグラフ
指数関数\(\small{ \ y=a^x \ }\)のグラフについて考えてみよう。\(\small{ \ x=0 \ }\)のとき\(\small{ \ y=a^0=1 \ }\)だから『\(\small{ \ y=a^x \ }\)のグラフは\(\small{ \ a \ }\)の値に関わらず\(\small{ \ (0, \ 1) \ }\)を通る』って言えるよね。
次に\(\small{ \ y=2^x \ }\)について考えてみよう。
\(\small{ \ x=1, \ 2, \ 3,\cdots \ }\)と\(\small{ \ x \ }\)が大きくなると\(\small{ \ y=2, \ 4, \ 8,\cdots \ }\)って\(\small{ \ y \ }\)も大きくなるよね。
これに対して\(\small{ \ x=-1, \ -2, \ -3,\cdots \ }\)と\(\small{ \ x \ }\)が小さくなると\(\small{ \ y=\displaystyle\frac{1}{2}, \ \displaystyle\frac{1}{4}, \ \displaystyle\frac{1}{8},\cdots \ }\)って\(\small{ \ y \ }\)も小さくなるよね。
でも小さくなるって言っても負の値になるわけじゃなくて、\(\small{ \ 0 \ }\)に近づいていくのがわかるよね。
つまり\(\small{ \ y=2^x \ }\)のグラフは\(\small{ \ x \to -\infty \ }\)のとき\(\small{ \ y=0 \ }\)に近づくから\(\small{ \ y=0 \ }\)が漸近線になるんだ。
次に\(\small{ \ y=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^x \ }\)について考えてみよう。
\(\small{ \ x=1, \ 2, \ 3,\cdots \ }\)と\(\small{ \ x \ }\)が大きくなると\(\small{ \ y=\displaystyle\frac{1}{2}, \ \displaystyle\frac{1}{4}, \ \displaystyle\frac{1}{8},\cdots \ }\)って\(\small{ \ y \ }\)は小さくなるよね。
これに対して\(\small{ \ x=-1, \ -2, \ -3,\cdots \ }\)と\(\small{ \ x \ }\)が小さくなると\(\small{ \ y=2, \ 4, \ 8,\cdots \ }\)って\(\small{ \ y \ }\)は大きくなるよね。
この場合も\(\small{ \ y \ }\)が小さくなるって言っても負の値になるわけじゃなくて、\(\small{ \ 0 \ }\)に近づいていく。
つまり\(\small{ \ y=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^x \ }\)のグラフは\(\small{ \ x \to \infty \ }\)のとき\(\small{ \ y=0 \ }\)に近づくから\(\small{ \ y=0 \ }\)が漸近線になるんだ。
これって\(\small{ \ y=2^x \ }\)のグラフと逆の形になっているよね。
つまり\(\small{ \ y=a^x \ }\)は\(\small{ \ a\gt1 \ }\)ならグラフは単調増加、\(\small{ \ 0 \lt a \lt 1 \ }\)ならグラフは単調減少で、どちらのグラフも\(\small{ \ (0, \ 1) \ }\)を通って、\(\small{ \ y=0 \ }\)(\(\small{ \ x \ }\)軸)が漸近線になるんだ。
あと\(\small{ \ y \ }\)は常に正の値をとるから、定義域（\(\small{ \ x \ }\)の範囲）が実数全体のとき、値域（\(\small{ \ y \ }\)の範囲）は\(\small{ \ y\gt0 \ }\)になるから覚えておこう。
指数関数のグラフの対称移動
次にグラフの対称移動について考えてみよう。
対称移動は\(\small{ \ x \ }\)軸、\(\small{ \ y \ }\)軸、原点に関して対称移動する問題が特に出題されるから、まずはこの\(\small{ \ 3 \ }\)つの対称移動をしっかり覚えておこう。
\(\small{ \ y=f(x) \ }\)の対称移動は、\(\small{ \ x \ }\)軸に関して対称移動するとき\(\small{ \ y \ }\)を\(\small{ \ -y \ }\)に変えればいいから\(\small{ \ -y=f(x) \ }\)。これを整理して\(\small{ \ y=-f(x) \ }\)になる。
\(\small{ \ y \ }\)軸に関して対称移動するとき\(\small{ \ x \ }\)を\(\small{ \ -x \ }\)に変えればいいから\(\small{ \ y=f(-x) \ }\)になる。
原点に関して対称移動するとき、\(\small{ \ x \ }\)を\(\small{ \ -x \ }\)に、\(\small{ \ y \ }\)を\(\small{ \ -y \ }\)に変えればいいから\(\small{ \ -y=f(-x) \ }\)。これを整理して\(\small{ \ y=-f(-x) \ }\)になる。
これは指数関数に限らず、二次関数でも三角関数でも様々な関数で成り立つからね。
だから\(\small{ \ y=2^x \ }\)を\(\small{ \ y \ }\)軸に関して対称移動したグラフは\(\small{ \ y=2^{-x}=\left(2^{-1}\right)^x=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^x \ }\)になるんだ。
指数関数のグラフの平行移動
グラフの平行移動は二次関数で勉強したときと同じで
\(\small{ \ x \ }\)軸方向に\(\small{ \ \alpha \ }\)平行移動するときは\(\small{ \ x \ }\)を\(\small{ \ x-\alpha \ }\)に、\(\small{ \ y \ }\)軸方向に\(\small{ \ \beta \ }\)平行移動するときは\(\small{ \ y \ }\)を\(\small{ \ y-\beta \ }\)に変えればよかったよね。
指数関数のグラフでもそれは同じだから、\(\small{ \ y=2^x \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)軸方向に\(\small{ \ +2 \ }\)、\(\small{ \ y \ }\)軸方向に\(\small{ \ +4 \ }\)に移動したグラフは\(\small{ \ y-4=2^{x-2} \ }\)だから\(\small{ \ y=2^{x-2}+4 \ }\)になるからね。
指数関数のグラフと不等式
指数関数\(\small{ \ y=a^x \ }\)のグラフは\(\small{ \ a\gt1 \ }\)なら単調増加するグラフ、\(\small{ \ 0\lt a \lt1 \ }\)なら単調減少するグラフだったよね。不等式はこのグラフを利用して考えるんだ。
\(\small{ \ 2^p\lt2^q \ }\)ならグラフは単調増加だから
不等号の向きはそのまま\(\small{ \ p\lt q \ }\)
\(\small{ \ \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^p\lt\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^q \ }\)ならグラフは単調減少だから等号の向きが変わって\(\small{ \ p\gt q \ }\)
\(\small{ \ a^x \ }\)の\(\small{ \ a \ }\)の大きさによって不等号の向きが変化するから注意しよう。特に\(\small{ \ a^x\lt a^y \ }\)みたいに文字になっているときは\(\small{ \ a\gt1 \ }\)と\(\small{ \ 0\lt a \lt 1 \ }\)の場合分けが必要になるから注意しよう。
指数関数のグラフを利用した大小関係
指数関数には「次の数を小さい順に並べよ。」って問題がある。
この問題には\(\small{ \ a^p, \ a^q, \ a^r \ }\)を並べるものと、\(\small{ \ p^a, \ q^a, \ r^a \ }\)を並べるものの\(\small{ \ 2 \ }\)つのタイプがある。この\(\small{ \ 2 \ }\)つの問題はグラフで考えるようにしよう。
\(\small{ \ a^p, \ a^q, \ a^r \ }\)を比較する場合は\(\small{ \ y=a^x \ }\)のグラフから\(\small{ \ p, \ q, \ r \ }\)の大小を求めよう。
\(\small{ \ a\gt1 \ }\)と\(\small{ \ 0\lt a \lt 1 \ }\)で大小が変化するのも忘れないでね。
\(\small{ \ a\gt1 \ }\)のとき
\(\small{ \ p\lt q \lt r \ }\)なら\(\small{ \ a^p \lt a^q \lt a^r \ }\)
\(\small{ \ 0 \lt a\lt1 \ }\)のとき
\(\small{ \ p\lt q \lt r \ }\)なら\(\small{ \ a^r \lt a^q \lt a^p \ }\)
\(\small{ \ p^a, \ q^a, \ r^a \ }\)を比較する場合は\(\small{ \ y=p^x, \ y=q^x, \ y=r^x \ }\)のグラフから大小を求めよう。
\(\small{ \ p\lt q \lt r \ }\)のとき
\(\small{ \ a\gt0 \ }\)なら\(\small{ \ p^a\lt q^a \lt r^a \ }\)
\(\small{ \ a\lt 0 \ }\)なら\(\small{ \ r^a\lt q^a \lt p^a \ }\)
\(\small{ \ a \ }\)が正負によってグラフの大小が反転することに注意しよう。
っていっても定期試験ぐらいでしか出題されないような問題だけどね。でもどちらの問題でもきちんとグラフを考えて解けるようにしておこう。
次の数の大小を不等号を用いて表せ。
(1)\(\small{ \ \sqrt[4 \ ]{8}, \ \sqrt[6 \ ]{32}, \ \sqrt[9 \ ]{128} \ }\)
(2)\(\small{ \ \sqrt{2}, \ \sqrt[3 \ ]{3}, \ \sqrt[6 \ ]{7} \ }\)
(1)\(\small{ \ \sqrt[4 \ ]{8}, \ \sqrt[6 \ ]{32}, \ \sqrt[9 \ ]{128} \ }\)
\(\small{ \ \sqrt[4 \ ]{8}=\left(2^3\right)^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{4}} \ }\)
\(\small{ \ \sqrt[6 \ ]{32}=\left(2^5\right)^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{5}{6}} \ }\)
\(\small{ \ \sqrt[9 \ ]{128}=\left(2^7\right)^{\frac{1}{9}}=2^{\frac{7}{9}} \ }\)
\(\small{ \ y=2^x \ }\)は増加関数
\(\small{ \ \displaystyle\frac{3}{4}\lt \displaystyle\frac{7}{9}\lt \displaystyle\frac{5}{6} \ }\)より
\(\small{ \ \sqrt[4 \ ]{8}\lt \sqrt[9 \ ]{128}\lt \sqrt[6 \ ]{32} \ \ }\)
(2)\(\small{ \ \sqrt{2}, \ \sqrt[3 \ ]{3}, \ \sqrt[6 \ ]{7} \ }\)
\(\small{ \ \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{6}}=\left(2^3\right)^{\frac{1}{6}} \ }\)
\(\small{ \ \sqrt[3 \ ]{3}=3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{6}}=\left(3^2\right)^{\frac{1}{6}} \ }\)
\(\small{ \ \sqrt[6 \ ]{7}=7^{\frac{1}{6}} \ }\)
\(\small{ \ 7\lt 2^3 \lt 3^2 \ }\)より
\(\small{ \ \sqrt[6 \ ]{7}\lt \sqrt{2} \lt \sqrt[3 \ ]{3}, \ \ }\)
Point 指数関数のグラフとその利用
①\(\small{ \ y=a^x\ }\)は\(\small{ \ a\gt1 \ }\)と\(\small{ \ 0\lt a\lt1 \ }\)でグラフが異なる
②\(\small{ \ a^p\lt a^q \ }\)は\(\small{ \ a\gt1 \ }\)のとき\(\small{ \ p \lt q \ }\)、\(\small{ \ 0\lt a\lt1 \ }\)のとき\(\small{ \ p\gt q \ }\)
