三角関数と媒介変数

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角関数と媒介変数について学習していこう。

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三角関数と媒介変数の利用

三角関数の定期試験ではあまり出題されない範囲かもしれないけど、入試では三角関数の媒介変数をきちんと知っておくことで計算が楽になったり、簡単に解けたりすることがよくあるから、きちんと理解していこう。

三角関数と媒介変数

・三角関数の公式を利用する場合
\(\small{ \ x=\cos\theta, \ y=2\cos2\theta+1 \ }\)

・三角関数の対称式の場合
\(\small{ \ x=\sin \theta+\cos\theta, \ y=\sin\theta\cos\theta \ }\)

・原点を中心とする円周上の点
\(\small{ \ x^2+y^2=r^2 \ }\)のとき
\(\small{ \ x=r\sin\theta, \ y=r\cos\theta \ }\)

・原点を中心とする楕円上の点
\(\small{ \ \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1 \ }\)のとき
\(\small{ \ x=a\cos\theta, \ y=b\sin\theta \ }\)

三角関数の公式を利用する媒介変数

三角関数の様々な公式を利用することで三角関数で与えられた媒介変数から媒介変数を消去して\(\small{ \ x, \ y \ }\)の関係式を導くことで軌跡を求めることができる。
例えば
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\cos\theta\\
y=2\cos2\theta+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
が与えられたとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&2\cos2\theta+1\\
&=&2\left(2\cos^2\theta-1\right)+1\\
&=&4\cos^2\theta-1\\
&=&4x^2-1 \ \end{eqnarray}}\)
だから三角関数を消去して\(\small{ \ x, \ y \ }\)の関係式を導くことができるよね。これは媒介変数の軌跡の考え方と同じだからね。
ただ三角関数が媒介変数になっているときは範囲に注意しないといけない
\(\small{ \ -1\leqq \cos\theta \leqq 1 \ }\)だから\(\small{ \ -1\leqq x \leqq 1 \ }\)になるよね。

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三角関数の対称式と媒介変数

三角関数の対称式を利用した媒介変数について考えてみよう。
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\sin\theta+\cos\theta\\
y=\sin\theta\cos\theta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

三角関数の基本対称式は以前三角比で学習したように\(\small{ \ \sin\theta+\cos\theta \ }\)を二乗することで\(\small{ \ \sin\theta\cos\theta \ }\)を導くことができるんだ。
\(\small{\begin{eqnarray} \ x^2&=&\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2\\
&=&1+2\sin\theta\cos\theta\\
&=&1+2y \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \therefore y=\displaystyle\frac{x^2}{2}-\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)

ここでも\(\small{ \ x \ }\)の範囲に注意すると、
\(\small{\begin{eqnarray} \ x&=&\sin\theta+\cos\theta\\
&=&\sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\right)\\
&=&\sqrt{2}\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \ \end{eqnarray}}\)
だから\(\small{ \ 0\leqq \theta \lt 2\pi \ }\)のとき\(\small{ \ -\sqrt{2}\leqq x \leqq \sqrt{2} \ }\)になるよね。

基本対称式で表された媒介変数以外にも同じように\(\small{ \ \sin\theta+\cos\theta \ }\)を二乗して\(\small{ \ \sin\theta\cos\theta \ }\)を作るから覚えておこう。

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原点を中心とする円周上の点と媒介変数

中心が原点で半径\(\small{ \ r \ }\)の円は\(\small{ \ x^2+y^2=r^2 \ }\)だよね。
この式を両辺\(\small{ \ r^2 \ }\)で割ると\(\small{ \ \left(\displaystyle\frac{x}{r}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{y}{r}\right)^2=1 \ }\)になるから
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x}{r}=\cos\theta\\
\displaystyle\frac{y}{r}=\sin\theta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)\(\small{ \ \therefore
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=r\cos\theta\\
y=r\sin\theta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
つまり円周上の点を\(\small{ \ (x, \ y)=\left(r\cos\theta, \ r\sin\theta\right) \ }\)っておくことができる。

これはほんと便利で、この三角関数の媒介変数を利用しないと円周上の点を\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)とおいて、\(\small{ \ a^2+b^2=r^2 \ }\)を満たすってことになるけど、式は二次式だから\(\small{ \ b=\pm\sqrt{r^2-a^2} \ }\)ってなって根号に\(\small{ \ \pm \ }\)が付くからめちゃくちゃ使いにくいよね。

でも三角関数を利用することで変数が\(\small{ \ \theta \ }\)だけになるから、すごくやりやすくなるよね。\(\small{ \ \sin\theta \ }\)と\(\small{ \ \cos\theta \ }\)の和なら合成を使えばいいし、\(\small{ \ \sin\theta\cos\theta \ }\)なら二倍角の公式も使えるからね。

入試問題では本当にこの考え方をよく使うから、円周上の点を置く必要があったら、\(\small{ \ (x, \ y)=\left(r\cos\theta, \ r\sin\theta\right) \ }\)っておくようにしよう。

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

点\(\small{ \ P(x, \ y) \ }\)が原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)を中心とする半径\(\small{ \ \sqrt{2} \ }\)の円周上を動くとき次の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ \sqrt{3}x+y \ }\)の最小値を求めよ。
(2)\(\small{ \ x^2+2xy+3y^2 \ }\)の最大値を求めよ。

原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)を中心とする半径\(\small{ \ \sqrt{2} \ }\)の円周上の点は\(\small{ \ \left(x, \ y\right)=\left(\sqrt{2}\cos\theta, \ \sqrt{2}\sin\theta\right) \ }\)\(\small{ \ (0\leqq \theta \lt 2\pi) \ }\)とおける
(1)
\(\small{\begin{eqnarray} \ &&\sqrt{3}x+y\\
&&=\sqrt{6}\cos\theta+\sqrt{2}\sin\theta\\
&&=2\sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\displaystyle\frac{1}{2}\sin\theta\right)\\
&&=2\sqrt{2}\left(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \ \end{eqnarray}}\)
よって\(\small{ \ \sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-1 \ }\)のとき
最小値\(\small{ \ -2\sqrt{2} \ \ \left(\theta=\displaystyle\frac{7}{6}\pi\right) \ }\)

(2)
\(\small{\begin{eqnarray} \ &&x^2+2xy+3y^2\\
&&=2\cos^2\theta+4\sin\theta\cos\theta+6\sin^2\theta\\
&&=2\cdot\displaystyle\frac{1+\cos2\theta}{2}+4\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\sin2\theta+6\cdot\displaystyle\frac{1-\cos2\theta}{2}\\
&&=2\sin2\theta-2\cos2\theta+4\\
&&=2\sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\sin2\theta-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cos2\theta\right)+4\\
&&=2\sqrt{2}\sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)+4 \ \end{eqnarray}}\)
よって\(\small{ \ \sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=1 \ }\)のとき
最大値\(\small{ \ 2\sqrt{2}+4 \ \ \left(\theta=\displaystyle\frac{3}{8}\pi, \ \displaystyle\frac{11}{8}\pi\right) \ }\)

point
中心\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)半径\(\small{ \ r \ }\)の円は\(\small{ \ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \ }\)だから\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x-a=r\cos\theta\\
y-b=r\sin\theta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)\(\small{ \ \therefore \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=r\cos\theta+a\\
y=r\sin\theta+b
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
になるからね。

原点を中心とする楕円上の点と媒介変数

中心が原点で長軸、短軸がそれぞれ\(\small{ \ 2a, \ 2b \ }\)の楕円は\(\small{ \ \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1 \ }\)だよね。
これは数学Ⅲのいろいろな曲線で学習する範囲になるから、理系の人しか学習しない範囲になるけど、媒介変数として出題されたら三角関数の問題になるから文系の人でもできないといけないよ。

っていっても文系の人には楕円の方程式を利用しないと解けないような問題は出題されないから、三角関数の問題として考えればいいからね。

\(\small{ \ \left(\displaystyle\frac{x}{a}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{y}{b}\right)^2=1 \ }\)になるから
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x}{a}=\cos\theta\\
\displaystyle\frac{y}{b}=\sin\theta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)\(\small{ \ \therefore
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos\theta\\
y=b\sin\theta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
つまり楕円上の点は\(\small{ \ (x, \ y)=\left(a\cos\theta, \ b\sin\theta\right) \ }\)っておくことができる。

ってことはさっき学習した円周上の点の媒介変数とそう変わらないから\(\small{ \ \sin\theta \ }\)と\(\small{ \ \cos\theta \ }\)の和なら合成を使えばいいし、\(\small{ \ \sin\theta\cos\theta \ }\)なら二倍角の公式を使えばいいからね。

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

媒介変数\(\small{ \ x=\sqrt{2}\cos\theta, y=\sqrt{3}\sin\theta \ }\)\(\small{ \ (0\leqq \theta\lt 2\pi) \ }\)で表される曲線を\(\small{ \ C \ }\)とする。
(1)\(\small{ \ C \ }\)上の点\(\small{ \ (x, \ y) \ }\)に対して、\(\small{ \ x-y \ }\)のとる値の最大値および最小値と、そのときの\(\small{ \ x, \ y \ }\)の値を求めよ。
(2)\(\small{ \ C \ }\)上の点\(\small{ \ (x, \ y) \ }\)に対して、\(\small{ \ (x+y)(x-y) \ }\)のとる値の最大値および最小値と、そのときの\(\small{ \ x, \ y \ }\)の値を求めよ。

(1)
\(\small{\begin{eqnarray} \ x-y&=&\sqrt{2}\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta\\
&=&\sqrt{5}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\theta-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\sin\theta\right)\\
&=&\sqrt{5}\cos(\theta+\alpha) \ \end{eqnarray}}\)
ただし\(\small{ \ \alpha \ }\)は\(\small{ \ \cos\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}},\sin\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \ }\)を満たす角
最大値は\(\small{ \ \cos(\theta+\alpha)=1 \ }\)のとき\(\small{ \ \sqrt{5} \ }\)
このとき\(\small{ \ \theta+\alpha=2\pi  \ }\)より\(\small{ \ \theta=2\pi-\alpha \ }\)
よって
\(\small{\begin{eqnarray} \ x&=&\sqrt{2}\cos(2\pi-\alpha)\\
&=&\sqrt{2}\cos\alpha=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&\sqrt{3}\sin(2\pi-\alpha)\\
&=&-\sqrt{3}\sin\alpha=-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{5}} \ \end{eqnarray}}\)

最小値は\(\small{ \ \cos(\theta+\alpha)=-1 \ }\)のとき\(\small{ \ -\sqrt{5} \ }\)
このとき\(\small{ \ \theta+\alpha=\pi  \ }\)より\(\small{ \ \theta=\pi-\alpha \ }\)
よって
\(\small{\begin{eqnarray} \ x&=&\sqrt{2}\cos(\pi-\alpha)\\
&=&-\sqrt{2}\cos\alpha=-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&\sqrt{3}\sin(\pi-\alpha)\\
&=&\sqrt{3}\sin\alpha=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{5}} \ \end{eqnarray}}\)

(2)
\(\small{\begin{eqnarray} \ (x+y)(x-y)&=&2\cos^2\theta-3\sin^2\theta\\
&=&1+\cos2\theta-3\displaystyle\frac{1-\cos2\theta}{2}\\
&=&\displaystyle\frac{5}{2}\cos2\theta-\displaystyle\frac{1}{2} \ \end{eqnarray}}\)
最大値は\(\small{ \ \cos2\theta=1 \ }\)のとき\(\small{ \ 2 \ }\)
このとき\(\small{ \ \theta=0, \ \pi, \ 2\pi  \ }\)
よって
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\sqrt{2}\cos\theta=\pm\sqrt{2}\\
y=\sqrt{3}\sin\theta=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}  \ }\)
最小値は\(\small{ \ \cos2\theta=-1 \ }\)のとき\(\small{ \ -3 \ }\)
このとき\(\small{ \ \theta=\pi, \ 3\pi  \ }\)
よって
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\sqrt{2}\cos\theta=0\\
y=\sqrt{3}\sin\theta=\pm\sqrt{3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}  \ }\)

Point 三角関数と媒介変数

①三角関数を媒介変数にする場合は定義域に注意する
②円周上の点は三角関数の媒介変数を利用する

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