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整数の割り算と余りの分類

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は整数の割り算と余りの分類について学習していこう。

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余りによる整数の分類

整数には奇数偶数があるけど、これって実は\(\small{ \ 2 \ }\)で割った余りのことを言ってるんだよね。\(\small{ \ 2 \ }\)で割った余りが\(\small{ \ 0 \ }\)なら偶数だし、余りが\(\small{ \ 1 \ }\)なら奇数だよね。

今回は\(\small{ \ 2 \ }\)以外の数で割った場合を考えて、整数問題を上手く解く知識をつけていこう。

整数の割り算と余りの分類

整数の割り算と商と余りの関係式
元の整数=割る数×商+余り

整数の余りによる分類
整数\(\small{ \ n \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割ったとき、余りは\(\small{ \ 0, \ 1, \ 2 \ }\)になる
整数\(\small{ \ k \ }\)を用いて
\(\small{ \ n=3k, \ 3k+1, \ 3k+2 \ }\)と表すことができる

割り算と商と余り

\(\small{ \ 7 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割ると商は\(\small{ \ 2 \ }\)で余りは\(\small{ \ 1 \ }\)だよね。小学校で習った式で書くと\(\small{ \ 7\div3=2\cdots1 \ }\)ってなるよね。高校数学ではこの式を\(\small{ \ 7=3\times2+1 \ }\)って書くんだ。

つまり『元の整数=割る数×商+余り』って式ね。まずはこの関係式を頭に入れておこう。

余りによる整数の分類

例えばある整数を\(\small{ \ 3 \ }\)で割ったとき、余りは\(\small{ \ 0, \ 1, \ 2 \ }\)のどれかになるよね。
つまり全ての整数は整数\(\small{ \ k \ }\)を用いると\(\small{ \ 3k, \ 3k+1, \ 3k+2 \ }\)の形で表すことが出来るんだ。

割る数を\(\small{ \ 5 \ }\)にすると、余りは\(\small{ \ 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4 \ }\)になるから、整数\(\small{ \ k \ }\)を用いると\(\small{ \ 5k, \ 5k+1, \ 5k+2, \ 5k+3, \ 5k+4 \ }\)の形で全ての整数を表すことが出来るんだ。

つまり余りで分類した形になるってこと。

余りで分類するメリット

次はなんで整数を余りで分類するのかってことについて考えてみよう。当然整数を余りで分類することで問題が解きやすくなるってメリットがないと分類する意味ないよね。

例えば整数\(\small{ \ n \ }\)の\(\small{ \ 2 \ }\)乗を\(\small{ \ 3 \ }\)で割った余りについて考えてみよう。
\(\small{ \ n \ }\)を分類せずにそのままだとよくわからないけど、\(\small{ \ n \ }\)を\(\small{ \ 3k, \ 3k+1, \ 3k+2 \ }\)に分類して考えてみると
\(\small{ \ n=3k \ }\)のとき\(\small{ \ n^2=9k^2=3(3k^2) \ }\)
\(\small{ \ n=3k+1 \ }\)のとき\(\small{ \ n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1 \ }\)
\(\small{ \ n=3k+2\ }\)のとき\(\small{ \ n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1 \ }\)
ってなるから\(\small{ \ n^2 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割った余りは\(\small{ \ 0 \ }\)か\(\small{ \ 1 \ }\)になるんだ。

この問題みたいに\(\small{ \ 3 \ }\)で割った余りや\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数なんかが絡む問題では\(\small{ \ 3 \ }\)でくくったりしやすいように整数を\(\small{ \ 3 \ }\)で割った余りで分類することで問題が解きやすくなるんだ。

この問題を\(\small{ \ 3 \ }\)以外の整数で割った余りで分類しても簡単に答えることができないからね。だから問題文に合わせて余りで分類する工夫をしよう。

計算における工夫

例えば連続する奇数って言うと\(\small{ \ 2k+1, \ 2k+3 \ }\)って書けるけど、\(\small{ \ 2k-1, \ 2k+1 \ }\)とも書けるよね。だから「連続する\(\small{ \ 2 \ }\)つの奇数の\(\small{ \ 2 \ }\)乗の和が〜」なんて問題だと\(\small{ \ 2k-1, \ 2k+1 \ }\)を使った方が計算が楽になる。

少しでも計算が楽になるように工夫しよう。
\(\small{ \ 5k, \ 5k+1, \ 5k+2, \ 5k+3, \ 5k+4 \ }\)は\(\small{ \ 5k, \ 5k\pm1, \ 5k\pm2 \ }\)って表すこともできるからね。

\(\small{ \ 5k-2=5(k-1)+3, \ 5k-1=5(k-1)+4 \ }\)って書くと\(\small{ \ 5 \ }\)で割った余りが\(\small{ \ 3 \ }\)と\(\small{ \ 4 \ }\)になる数って言えるよね。

例題を確認
問題解答

次のことを証明せよ。
(1)連続する\(\small{ \ 2 \ }\)つの奇数の\(\small{ \ 2 \ }\)乗の差は\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数である
(2)\(\small{ \ n \ }\)が整数のとき\(\small{ \ n^2+5n+4 \ }\)は偶数である

(1)連続する\(\small{ \ 2 \ }\)つの奇数は、整数\(\small{ \ k \ }\)を用いて\(\small{ \ 2k-1, \ 2k+1 \ }\)とおける
\(\small{ \ (2k+1)^2-(2k-1)^2=8k \ }\)
よって連続する\(\small{ \ 2 \ }\)つの奇数の\(\small{ \ 2 \ }\)乗の差は\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数である

(2)整数\(\small{ \ n \ }\)は整数\(\small{ \ k \ }\)を用いて\(\small{ \ n=2k \ }\)または\(\small{ \ n=2k-1 \ }\)とおける
(i)\(\small{ \ n=2k \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ n^2+5n+4&=&(2k)^2+5(2k)+4\\
&=&2(2k^2+5k+2) \ \end{eqnarray}}\)
(ii)\(\small{ \ n=2k-1 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ n^2+5n+4&=&(2k-1)^2+5(2k-1)+4\\
&=&2(2k^2+3k) \ \end{eqnarray}}\)
(i)(ii)より\(\small{ \ n \ }\)が整数のとき\(\small{ \ n^2+5n+4 \ }\)は偶数である

point
偶数は\(\small{ \ 2 \ }\)の倍数だから\(\small{ \ 2 \ }\)で割った余りで分類すると簡単に証明できるから覚えておこう。つまりこれって偶奇分けってことだよね。

Point 整数の割り算と余りの分類

①すべての整数は余りで分類した形で表すことができる
②倍数や余りの証明問題は整数を余りで分類する

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ a, \ b, \ c \ }\)を整数とする。このとき次のことを示せ。
(1)\(\small{ \ a^2 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割ると余りは\(\small{ \ 0 \ }\)または\(\small{ \ 1 \ }\)になる。
(2)\(\small{ \ a^2+b^2 \ }\)が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数ならば、\(\small{ \ a, \ b \ }\)ともに\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数である。
(3)\(\small{ \ a^2+b^2=c^2 \ }\)ならば\(\small{ \ a, \ b \ }\)のうち少なくとも\(\small{ \ 1 \ }\)つは\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数である。

(1)整数\(\small{ \ a \ }\)は\(\small{ \ k \ }\)を整数とすると
\(\small{ \ a=3k, \ 3k\pm1 \ }\)と表すことができる
(i)\(\small{ \ a=3k \ }\)のとき\(\small{ \ a^2=3(3k^2) \ }\)
よって\(\small{ \ 3 \ }\)で割ったと余りは\(\small{ \ 0 \ }\)である
(ii)\(\small{ \ a=3k\pm1 \ }\)のとき\(\small{ \ a^2=3(3k^2\pm2k)+1 \ }\)
よって\(\small{ \ 3 \ }\)で割ったと余りは\(\small{ \ 1 \ }\)である
(i)(ii)より\(\small{ \ a^2 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割ると余りは\(\small{ \ 0 \ }\)または\(\small{ \ 1 \ }\)である

(2)「\(\small{ \ a^2+b^2 \ }\)が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数ならば、\(\small{ \ a, \ b \ }\)ともに\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数である」の対偶命題は「\(\small{ \ a, \ b \ }\)の少なくとも一方が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数でないならば、\(\small{ \ a^2+b^2 \ }\)は\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数でない」となる
この対偶命題を示す
(1)の結果から
(i)\(\small{ \ a, \ b \ }\)ともに\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数でないとき、\(\small{ \ a^2, \ b^2 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割った余りはともに\(\small{ \ 1 \ }\)になるから\(\small{ \ a^2+b^2 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割った余りは\(\small{ \ 2 \ }\)になる
(ii)\(\small{ \ a, \ b \ }\)のうちどちらか一方のみが\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数のとき、\(\small{ \ a^2, \ b^2 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割った余りは\(\small{ \ 0 \ }\)と\(\small{ \ 1 \ }\)になるから\(\small{ \ a^2+b^2 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割った余りは\(\small{ \ 1 \ }\)になる
(i)(ii)より\(\small{ \ a, \ b \ }\)の少なくとも一方が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数でないならば、\(\small{ \ a^2+b^2 \ }\)は\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数でない
よって元の命題「\(\small{ \ a^2+b^2 \ }\)が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数ならば、\(\small{ \ a, \ b \ }\)ともに\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数である」も成り立つ

(3)「\(\small{ \ a^2+b^2=c^2 \ }\)ならば\(\small{ \ a, \ b \ }\)のうち少なくとも\(\small{ \ 1 \ }\)つは\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数である」の対偶命題は「\(\small{ \ a, \ b \ }\)ともに\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数でないならば、\(\small{ \ a^2+b^2=c^2 \ }\)は成り立たない」となる
この対偶命題を示す
(1)より\(\small{ \ a, \ b \ }\)ともに\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数でないならば\(\small{ \ a^2+b^2 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割った余りは\(\small{ \ 2 \ }\)になる
しかし、\(\small{ \ c^2 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割った余りは\(\small{ \ 0 \ }\)か\(\small{ \ 1 \ }\)になる
つまり\(\small{ \ a^2+b^2=c^2 \ }\)は成り立たない
よって元の命題「\(\small{ \ a^2+b^2=c^2 \ }\)ならば\(\small{ \ a, \ b \ }\)のうち少なくとも\(\small{ \ 1 \ }\)つは\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数である」は成り立つ

point
命題の証明は、命題を直接証明するよりも対偶を証明する方が簡単なことが多いから、対偶についても考えるようにしよう。

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