整数の性質

n進法の計算と応用

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はn進法の計算と応用について学習していこう。

n進法

\(\small{ \ n \ }\)進法については前回学習したけど、今回は\(\small{ \ n \ }\)進法の計算や応用について学習していこう。計算って言ってもそんな複雑なものじゃなくて、簡単な四則計算だから確実にマスターしよう。

n進法の計算と応用

\(\small{ \ n \ }\)進法の四則計算は\(\small{ \ n \ }\)で桁が繰り上がることに注意する

n進法の足し算と引き算

普段使っている\(\small{ \ 10 \ }\)進法の\(\small{ \ 1 \ }\)桁の足し算は\(\small{ \ 10 \ }\)以上で繰り上がるよね。

これと同じで\(\small{ \ 3 \ }\)進法の\(\small{ \ 1 \ }\)桁の足し算は\(\small{ \ 3 \ }\)以上で繰り上がるし、\(\small{ \ 4 \ }\)進法の\(\small{ \ 1 \ }\)桁の足し算だったら\(\small{ \ 4 \ }\)以上で繰り上がるんだ。

これを頭にいれて次の計算を見てみよう。
\(\small{ \ 10 \ }\)進法の足し算\(\small{ \ 27+35 \ }\)
\(\small{ \ \begin{array}{r}
27 \\[-3pt] \underline{+\phantom{0}35}\\[-3pt] 62
\end{array}
\ }\)
\(\small{ \ 1 \ }\)の位の\(\small{ \ 7+5 \ }\)を計算する。
\(\small{ \ 12 \ }\)だから\(\small{ \ 10 \ }\)は繰り上がって\(\small{ \ 1 \ }\)の位は\(\small{ \ 2 \ }\)
\(\small{ \ 10 \ }\)の位の\(\small{ \ 2+3+1 \ }\)を計算する。
\(\small{ \ 1 \ }\)は\(\small{ \ 1 \ }\)の位からの繰り上がりになる。

\(\small{ \ 4 \ }\)進法の足し算\(\small{ \ 22_{(4)}+33_{(4)} \ }\)
\(\small{ \ \begin{array}{r}
22_{(4)} \\[-3pt] \underline{+\phantom{0}33_{(4)}}\\[-3pt] 121_{(4)}
\end{array}
\ }\)
\(\small{ \ 1 \ }\)の位の\(\small{ \ 2+3 \ }\)を計算する。
\(\small{ \ 5 \ }\)だから\(\small{ \ 4 \ }\)は繰り上がって\(\small{ \ 1 \ }\)の位は\(\small{ \ 1 \ }\)
\(\small{ \ 4 \ }\)の位の\(\small{ \ 2+3+1 \ }\)を計算する。
\(\small{ \ 1 \ }\)は\(\small{ \ 1 \ }\)の位からの繰り上がりになる。
\(\small{ \ 6 \ }\)だから\(\small{ \ 4 \ }\)は繰り上がって\(\small{ \ 4 \ }\)の位は\(\small{ \ 2 \ }\)
\(\small{ \ 4^2 \ }\)の位は\(\small{ \ 4 \ }\)の位から繰り上がった\(\small{ \ 1 \ }\)になる。

\(\small{ \ 10 \ }\)進法の引き算\(\small{ \ 327-38 \ }\)
\(\small{ \ \begin{array}{r}
327 \\[-3pt] \underline{-\phantom{0}38}\\[-3pt] 289
\end{array}
\ }\)
\(\small{ \ 1 \ }\)の位の\(\small{ \ 7-8 \ }\)を計算する。
マイナスになるから、\(\small{ \ 10 \ }\)の位から\(\small{ \ 10 \ }\)を持ってきて、\(\small{ \ 1 \ }\)の位は\(\small{ \ 17-8 \ }\)を計算して\(\small{ \ 9 \ }\)
\(\small{ \ 327 \ }\)の\(\small{ \ 10 \ }\)の位はさっき\(\small{ \ 1 \ }\)の位に\(\small{ \ 1 \ }\)繰り下げたから\(\small{ \ 10 \ }\)の位は\(\small{ \ 1-3 \ }\)を計算する。
マイナスになるから、\(\small{ \ 100 \ }\)の位から\(\small{ \ 1 \ }\)を持ってきて
\(\small{ \ 10 \ }\)の位は\(\small{ \ 11-3 \ }\)を計算して\(\small{ \ 10 \ }\)の位は\(\small{ \ 8 \ }\)
\(\small{ \ 100 \ }\)は\(\small{ \ 10 \ }\)の位に\(\small{ \ 1 \ }\)繰り下げたから\(\small{ \ 2 \ }\)

\(\small{ \ 4 \ }\)進法の引き算\(\small{ \ 331_{(4)}-33_{(4)} \ }\)
\(\small{ \ \begin{array}{r}
331_{(4)} \\[-3pt] \underline{-\phantom{0}33_{(4)}}\\[-3pt] 232_{(4)} \end{array} }\)
\(\small{ \ 1 \ }\)の位の\(\small{ \ 1-3 \ }\)を計算する。
マイナスになるから、\(\small{ \ 4 \ }\)の位から\(\small{ \ 4 \ }\)を持ってきて
\(\small{ \ 1 \ }\)の位は\(\small{ \ 5-3 \ }\)を計算して\(\small{ \ 2 \ }\)
\(\small{ \ 321_{(4)} \ }\)の\(\small{ \ 4 \ }\)の位はさっき\(\small{ \ 1 \ }\)の位に\(\small{ \ 1 \ }\)繰り下げたから\(\small{ \ 4 \ }\)の位は\(\small{ \ 2-3 \ }\)を計算する。
マイナスになるから、\(\small{ \ 4^2 \ }\)の位から\(\small{ \ 4 \ }\)を持ってきて
\(\small{ \ 4 \ }\)の位は\(\small{ \ 6-3 \ }\)を計算して\(\small{ \ 3 \ }\)
\(\small{ \ 4^2 \ }\)の位は\(\small{ \ 4 \ }\)の位に\(\small{ \ 1 \ }\)繰り下げたから\(\small{ \ 2 \ }\)

point
\(\small{ \ n \ }\)進法だと\(\small{ \ n \ }\)で繰り上がることに注意すれば、普段の使う\(\small{ \ 10 \ }\)進法の計算と同じだからね。出た答えの各位の数は\(\small{ \ n \ }\)より小さい数になるからね。

n進法のかけ算

\(\small{ \ n \ }\)進法のかけ算も基本的には普段使う\(\small{ \ 10 \ }\)進法の計算と同じなんだけど、繰り上がりに注意して計算しよう。
\(\small{ \ 122_{(4)}\times23_{(4)} \ }\)について考えてみよう。

筆算を書くと次のようになる。
\(\small{ \ \begin{array}{r}
122 \\[-3pt] \underline{\times\phantom{00}23}\\[-3pt] 1032 \\[-3pt] \underline{\phantom{0}310\phantom{0}} \\[-3pt] 10132
\end{array} \ }\)

普段の計算と同じでまずは\(\small{ \ 122_{(4)}\times3_{(4)} \ }\)を計算。次に\(\small{ \ 122_{(4)}\times2_{(4)} \ }\)を\(\small{ \ 1 \ }\)桁ずらして下の段に書く。これを足せば答えがでる。
\(\small{ \ 122_{(4)}\times3_{(4)} \ }\)は\(\small{ \ 1 \ }\)の位から順にかけていくから\(\small{ \ 2\times3=6 \ }\)になって\(\small{ \ 6 \ }\)は\(\small{ \ 4 \ }\)以上だから\(\small{ \ 4 \ }\)の位に\(\small{ \ 1 \ }\)繰り上がって\(\small{ \ 1 \ }\)の位は\(\small{ \ 2 \ }\)

\(\small{ \ 4 \ }\)の位は\(\small{ \ 2\times3=6 \ }\)と\(\small{ \ 1 \ }\)の位から繰り上げた\(\small{ \ 1 \ }\)を足して\(\small{ \ 7 \ }\)
これも\(\small{ \ 4 \ }\)以上だから\(\small{ \ 4^2 \ }\)の位に\(\small{ \ 1 \ }\)繰り上がって\(\small{ \ 4 \ }\)の位は\(\small{ \ 3 \ }\)

\(\small{ \ 4^2 \ }\)の位は\(\small{ \ 1\times3=3 \ }\)と\(\small{ \ 4 \ }\)の位から繰り上げた\(\small{ \ 1 \ }\)を足して\(\small{ \ 4 \ }\)
これも\(\small{ \ 4 \ }\)以上だから\(\small{ \ 4^3 \ }\)の位に\(\small{ \ 1 \ }\)繰り上がって\(\small{ \ 4^2 \ }\)の位は\(\small{ \ 0 \ }\)

\(\small{ \ 4^3 \ }\)の位は\(\small{ \ 4^2 \ }\)の位から繰り上がった\(\small{ \ 1 \ }\)だけだから\(\small{ \ 122_{(4)}\times3_{(4)}=1032 \ }\)になる。

同じ様に\(\small{ \ 4 \ }\)の位にあたる\(\small{ \ 122_{(4)}\times2_{(4)} \ }\)を計算しよう。
\(\small{ \ 1 \ }\)の位から順にかけていくから\(\small{ \ 2\times2=4 \ }\)になって\(\small{ \ 4 \ }\)は\(\small{ \ 4 \ }\)以上だから\(\small{ \ 4 \ }\)の位に\(\small{ \ 1 \ }\)繰り上がって\(\small{ \ 1 \ }\)の位は\(\small{ \ 0 \ }\)

\(\small{ \ 4 \ }\)の位は\(\small{ \ 2\times2=4 \ }\)と\(\small{ \ 1 \ }\)の位から繰り上げた\(\small{ \ 1 \ }\)を足して\(\small{ \ 5 \ }\)
これも\(\small{ \ 4 \ }\)以上だから\(\small{ \ 4^2 \ }\)の位に\(\small{ \ 1 \ }\)繰り上がって\(\small{ \ 4 \ }\)の位は\(\small{ \ 1 \ }\)

\(\small{ \ 4^2 \ }\)の位は\(\small{ \ 1\times2=2 \ }\)と\(\small{ \ 4 \ }\)の位から繰り上げた\(\small{ \ 1 \ }\)を足して\(\small{ \ 3 \ }\)
\(\small{ \ 122_{(4)}\times2_{(4)}=310 \ }\)になる。

この\(\small{ \ 1032 \ }\)と左に\(\small{ \ 1 \ }\)桁ずらした\(\small{ \ 310 \ }\)を足して\(\small{ \ 10132 \ }\)になる。この足し算のときも\(\small{ \ 4 \ }\)以上で繰り上がることに注意しよう。

n進法の割り算

\(\small{ \ n \ }\)進法の割り算も普通の割り算と同じで、どの位から割れるか確認して、引いて次の位、次の位ってやっていく。
\(\small{ \ 11102_{(3)}\div21_{(3)} \ }\)を考えてみよう。
上の\(\small{ \ 2 \ }\)桁\(\small{ \ 11 \ }\)を\(\small{ \ 21 \ }\)では割れないから\(\small{ \ 111 \ }\)を\(\small{ \ 21 \ }\)で割るところから始める。
あとはかけ算と引き算を使って計算すればいいから、次のようになる。
\(\small{ \ \begin{array}{r}
\underline{\phantom{.00}122}\\[-3pt] 21)11102 \\[-3pt] \underline{\phantom{0}21\phantom{00}} \\[-3pt] 200\phantom{0}\\[-3pt] \underline{\phantom{0}112\phantom{0}} \\[-3pt] \phantom{000}112\\[-3pt] \underline{\phantom{0}112} \\[-3pt] 0\end{array} \ }\)
だから\(\small{ \ 11102_{(3)}\div21_{(3)}=122_{(3)} \ }\)になるんだ。

だけどこれって考えるの結構大変だよね。だから、自信のない人は一度\(\small{ \ 10 \ }\)進法に戻してから計算して、そのあと\(\small{ \ n \ }\)進法に戻す方がミスがないからオススメ。

\(\small{ \ 11102_{(3)}\div21_{(3)} \ }\)なら
\(\small{ \ 11102_{(3)}=81+27+9+2=119 \ }\)
\(\small{ \ 21_{(3)}=6+1=7 \ }\)
\(\small{ \ 11102_{(3)}\div21_{(3)}=119\div7=17 \ }\)
\(\small{ \ 17=9+6+2=122_{(3)} \ }\)
よって\(\small{ \ 11102_{(3)}\div21_{(3)}=122_{(3)} \ }\)

point
実際\(\small{ \ n \ }\)進法の割り算は入試にはほとんど出題されないし、学校の定期試験で出題される問題もそう難しくないから一度変換して計算してもたいして時間かからないからね。
\(\small{ \ n \ }\)進法を\(\small{ \ 10 \ }\)進法にする方法と\(\small{ \ 10 \ }\)進法を\(\small{ \ n \ }\)進法にする方法を確実にマスターして素早くできるようにしておこう。

例題を確認
問題解答

次の計算をせよ。
(1)\(\small{ \ 6254_{(7)}+3245_{(7)} \ }\)
(2)\(\small{ \ 6254_{(7)}-3245_{(7)} \ }\)
(3)\(\small{ \ 2002_{(3)}\times21_{(3)} \ }\)
(4)\(\small{ \ 2002_{(3)}\div21_{(3)} \ }\)

(1)
\(\small{\begin{eqnarray} \ 6254\\
+3245\\
\hline
12532\end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ 6254_{(7)}+3245_{(7)}=12532_{(7)} \ }\)

(2)
\(\small{\begin{eqnarray} \ 6254\\
-3245\\
\hline
3006\end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ 6254_{(7)}-3245_{(7)}=3006_{(7)} \ }\)

(3)
\(\small{\begin{eqnarray} \ 2002\\
\times \ 21\\
\hline
2002\\
11011\phantom{0}\\
\hline
112112\end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ 2002_{(3)}\times21_{(3)}=112112_{(3)} \ }\)

(4)
\(\small{ \ \begin{array}{r}
\underline{\phantom{.00}22}\\[-3pt] 21)2002 \\[-3pt] \underline{\phantom{00}112\phantom{0}} \\[-3pt] \phantom{000}112\\[-3pt] \underline{\phantom{.0}112} \\[-3pt] 0\end{array} \ }\)
\(\small{ \ 2002_{(3)}\div21_{(3)}22_{(3)} \ }\)

n進法の分数

\(\small{ \ \displaystyle\frac{3}{7} \ }\)を\(\small{ \ 7 \ }\)進法で表すと\(\small{ \ 0.3_{(7)} \ }\)になる。分母\(\small{ \ 7 \ }\)と\(\small{ \ 7 \ }\)進法の底\(\small{ \ 7 \ }\)が同じだから簡単にわかるよね。

それじゃ\(\small{ \ \displaystyle\frac{3}{7} \ }\)を\(\small{ \ 6 \ }\)進法で表すとどうなるだろう。分母と\(\small{ \ 6 \ }\)進法の底\(\small{ \ 6 \ }\)が異なるから簡単にはわからないよね。

この場合\(\small{ \ 6 \ }\)進法の小数を考えるときと同じように\(\small{ \ 6 \ }\)倍して考えよう。
\(\small{ \ \displaystyle\frac{3}{7}=0.a_1a_2a_3\cdots_{(6)} \ }\)とおくと

\(\small{ \ 6 \ }\)倍すると
\(\small{\begin{array}{r}
3/7&=&0.a_1a_2a_3\cdots_{(6)}\\
\times6&=&\times6\\
\hline
18/7&=&a_1.a_2a_3\cdots_{(6)} \end{array}}\)
このとき\(\small{ \ \displaystyle\frac{18}{7} \ }\)の整数部分は\(\small{ \ 2 \ }\)になるから\(\small{ \ a_1=2 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{18}{7}-2=\displaystyle\frac{4}{7}=0.a_2a_3\cdots_{(6)} \ }\)

さらにこれを\(\small{ \ 6 \ }\)倍すると
\(\small{\begin{array}{r}
4/7&=&0.a_2a_3\cdots_{(6)}\\
\times6&=&\times6\\
\hline
24/7&=&a_2.a_3\cdots_{(6)}\end{array}}\)

\(\small{ \ \displaystyle\frac{24}{7} \ }\)の整数部分は\(\small{ \ 3 \ }\)だから\(\small{ \ a_2=3 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{24}{7}-3=\displaystyle\frac{3}{7}=0.a_3\cdots_{(6)} \ }\)
これって最初と同じ\(\small{ \ \displaystyle\frac{3}{7} \ }\)と同じになるから\(\small{ \ a_3=2, \ a_4=3 \ \cdots \ }\)って繰り返すことになる
だから\(\small{ \ \displaystyle\frac{3}{7}=0.\dot{2}\dot{3}_{(6)} \ }\)になるんだ。

今度は\(\small{ \ \displaystyle\frac{5}{12} \ }\)を\(\small{ \ 6 \ }\)進法で表してみよう。
\(\small{ \ \displaystyle\frac{5}{12}=0.a_1a_2a_3\cdots_{(6)} \ }\)として、さっきと同じように\(\small{ \ 6 \ }\)倍しよう。

\(\small{\begin{array}{r}
5/12&=&0.a_1a_2a_3\cdots_{(6)}\\
\times6&=&\times6\\
\hline
5/2&=&a_1.a_2a_3\cdots_{(6)} \ \end{array}}\)

\(\small{ \ \displaystyle\frac{5}{2} \ }\)の整数部分は\(\small{ \ 2 \ }\)だから\(\small{ \ a_1=2 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{5}{2}-2=\displaystyle\frac{1}{2}=0.a_2a_3\cdot_{(6)} \ }\)だからさらに\(\small{ \ 6 \ }\)倍して

\(\small{\begin{array}{r}
1/2&=&0.a_2a_3\cdots_{(6)}\\
\times6&=&\times6\\
\hline
3&=&a_2.a_3\cdots_{(6)} \end{array}}\)

整数部分を比較して\(\small{ \ a_2=3, \ a_3=a_4=\cdots=0 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{5}{12}=0.23_{(6)} \ }\)

今\(\small{ \ \displaystyle\frac{3}{7} \ }\)と\(\small{ \ \displaystyle\frac{5}{12} \ }\)を\(\small{ \ 6 \ }\)進法にしてみたけど何か気付いたことないかな?

分数の分母が\(\small{ \ 6 \ }\)の素因数\(\small{ \ 2 \ }\)と\(\small{ \ 3 \ }\)だけで表されているとき\(\small{ \ 6 \ }\)倍していくといつかは整数になるよね。
逆に\(\small{ \ 6 \ }\)の素因数\(\small{ \ 2 \ }\)と\(\small{ \ 3 \ }\)以外の数が分数の分母の因数に含まれていると何回\(\small{ \ 6 \ }\)倍しても整数になることはない。

だから分数を\(\small{ \ 6 \ }\)進法で表す場合、分母が\(\small{ \ 6 \ }\)の素因数\(\small{ \ 2 \ }\)と\(\small{ \ 3 \ }\)だけで素因数分解できる場合は有限小数になるし、分母の素因数が\(\small{ \ 6 \ }\)の素因数以外の数も含まれている場合は無限小数になるんだ。

例えば分母が\(\small{ \ 7 \ }\)の分数を\(\small{ \ 6 \ }\)進法で表す場合、分子を\(\small{ \ 6 \ }\)倍して整数部分を引くと残った分数の分子は\(\small{ \ 0〜6 \ }\)になるよね。つまり\(\small{ \ 7 \ }\)通りしかない。しかも整数にはならないから、分子は\(\small{ \ 0 \ }\)以外の\(\small{ \ 1〜6 \ }\)になる。

ってことは\(\small{ \ 6 \ }\)倍して整数部分を引くのを\(\small{ \ 7 \ }\)回繰り返せば少なくとも同じ分子の数が\(\small{ \ 1 \ }\)つは出てくるよね。だからこの無限小数は循環小数になるんだ。

n進法の応用

例えば\(\small{ \ 3 \ }\)進数で表された数を小さいほうから並べると
\(\small{ \ 1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,\cdots \ }\)
このとき次の\(\small{ \ 2 \ }\)つの数を調べてみよう。

「\(\small{ \ 100 \ }\)番目の数」と「\(\small{ \ 2021 \ }\)は何番目の数」

これって「\(\small{ \ 100 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)進法で表した数」と「\(\small{ \ 2021_{(3)} \ }\)を\(\small{ \ 10 \ }\)進法で表した数」ってことになるんだ。

\(\small{ \ 1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,\cdots \ }\)は\(\small{ \ 10 \ }\)進法にすると\(\small{ \ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\cdots \ }\)って書いているのと同じだから\(\small{ \ 100 \ }\)番目の数は\(\small{ \ 100 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)進法で表した数と同じだよね。

さらに\(\small{ \ 1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,\cdots,2021 \ }\)は\(\small{ \ 10 \ }\)進法にした\(\small{ \ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\cdots,x \ }\)の\(\small{ \ x \ }\)を求めればいいから\(\small{ \ 2021_{(3)} \ }\)を\(\small{ \ 10 \ }\)進法で表した数になるからね。

\(\small{ \ n \ }\)進法と\(\small{ \ 10 \ }\)進法の関係をきちんと考えて問題を考えてあげよう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 3 \ }\)種類の数字\(\small{ \ 0, \ 1, \ 2 \ }\)を用いて表される自然数を次のように並べる。
\(\small{ \ 1, \ 2, \ 10, \ 11, \ 12, \ 20, \ 21, \ 22, \ 100,\cdots \ }\)
このとき次の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ 212 \ }\)番目の数字を求めよ。
(2)\(\small{ \ 2211 \ }\)は何番目の数か。

(1)\(\small{ \ 212 \ }\)
\(\small{\begin{array}{r}
3)\underline{212}\phantom{\cdots2}\\[-3pt] 3)\underline{70}\cdots2\\[-3pt] 3)\underline{23}\cdots1\\[-3pt] 3)\underline{7}\cdots2\\[-3pt] 2\cdots1\end{array} \ }\)

\(\small{ \ 212=21212_{(3)} \ }\)より\(\small{ \ 21212 \ }\)

(2)\(\small{ \ 2211_{(3)} \ }\)
\(\small{ \ 2\cdot3^3+2\cdot3^2+1\cdot3^1+1=76 \ }\)より
\(\small{ \ 76 \ }\)番目の数

Point \(\small{ \ n \ }\)進法の計算と応用

①\(\small{ \ n \ }\)進法の四則計算をマスターする
②\(\small{ \ n \ }\)進法と\(\small{ \ 10 \ }\)進法の関係性を考える

次は入試レベルの問題にチャレンジ!
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ 3 \ }\)桁の自然数を\(\small{ \ 7 \ }\)進法で表すと\(\small{ \ a0b_{(7)} \ }\)となり、\(\small{ \ 5 \ }\)進法で表すと\(\small{ \ b0a_{(5)} \ }\)となる。このとき\(\small{ \ a, \ b \ }\)を求めよ。

この自然数を\(\small{ \ N \ }\)とすると
\(\small{ \ N=49a+b=25b+a \ }\)ただし\(\small{ \ a, \ b \ }\)ともに\(\small{ \ 4 \ }\)以下の自然数
\(\small{ \ b=2a \ }\)より
\(\small{ \ (a, \ b)=(1, \ 2), \ (2, \ 4)\ }\)
\(\small{ \ N \ }\)は\(\small{ \ 3 \ }\)桁の自然数よりこれを満たすのは\(\small{ \ (a, \ b)=(2, \ 4) \ }\)

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リンス

名前:リンス
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