整数の性質

n進法の表し方

2020年5月5日

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はn進法の表し方について学習していこう。

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n進法

高校数学では\(\small{ \ 10 \ }\)進法を使っているけど、今回は\(\small{ \ n \ }\)進法の表記の仕方や\(\small{ \ n \ }\)進法を\(\small{ \ 10 \ }\)進法にしたり、\(\small{ \ 10 \ }\)進法を\(\small{ \ n \ }\)進法にする方法をマスターしよう。

n進法

・位取り記数法
各位の数字を上から並べて数を表す方法

・n進法
\(\small{ \ a_k a_{k-1}\cdots a_{1}a_{0} \ _{(n)} \ }\)

・10進法

\(\small{ \ a_k\cdot n^k+a_{k-1}\cdot n^{k-1}+\cdots+a_1\cdot n^1+a_0\cdot n^0 \ }\)

位取り記数法

まずは普段使っている\(\small{ \ 10 \ }\)進法を考えてみよう。
\(\small{ \ 10 \ }\)進法の\(\small{ \ 1234 \ }\)は千の位が\(\small{ \ 1 \ }\)、百の位が\(\small{ \ 2 \ }\)、十の位が\(\small{ \ 3 \ }\)、一の位が\(\small{ \ 4 \ }\)の数だよね。

だから
\(\small{ \ 1234=1\cdot10^3+2\cdot10^2+3\cdot10^1+4\cdot10^0 \ }\)って書くことができる。

\(\small{ \ 10 \ }\)進法の位は\(\small{ \ 10^0=1 \ }\)から\(\small{ \ 10^1, \ 10^2, \ 10^3,\cdots \ }\)と下の位から上がっていって、この各位の数は\(\small{ \ 0〜9 \ }\)のどれかになる。
これって\(\small{ \ 10 \ }\)で割った余りの数でもあるんだ。

次\(\small{ \ 3 \ }\)進法を考えてみよう。
\(\small{ \ 10 \ }\)進法と同じように\(\small{ \ 3 \ }\)進法の位は\(\small{ \ 3^0=1 \ }\)から\(\small{ \ 3^1, \ 3^2, \ 3^3,\cdots \ }\)と下の位から上がっていって、この各位の数は\(\small{ \ 0〜2 \ }\)のどれかになる。

例えば\(\small{ \ 3 \ }\)進法で表された\(\small{ \ 12022 \ }\)は\(\small{ \ 10 \ }\)進法で表すと

\(\small{ \ 1\cdot3^4+2\cdot3^3+0\cdot3^2+2\cdot3^1+2\cdot3^0=143 \ }\)

になる。

この各位の数字を上から並べて数を表す方法を、位取り記数法っていうんだ。ちなみに\(\small{ \ 10 \ }\)進法の場合の\(\small{ \ 10 \ }\)、\(\small{ \ 3 \ }\)進法の場合の\(\small{ \ 3 \ }\)のように、位取りの基礎となる数をっていうからね。

そして\(\small{ \ n \ }\)進法で表された数を\(\small{ \ n \ }\)進数っていうんだ。もちろん\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ 2 \ }\)以上の整数になるからね。

そして\(\small{ \ n \ }\)進法で表された\(\small{ \ n \ }\)進数は右下に\(\small{ \ _{(n)} \ }\)をつけて表記する。ただ、普段よく使っている\(\small{ \ 10 \ }\)進法は\(\small{ \ _{(10)} \ }\)を省略するからね。
つまり\(\small{ \ 12022_{(3)}=143 \ }\)って書くことになるんだ。

n進法から10進法への変換(整数)

それじゃ次に底を変換する方法を考えてみよう。
\(\small{ \ 12022_{(3)} \ }\)を\(\small{ \ 10 \ }\)進数にするのは
\(\small{ \ 1\cdot3^4+2\cdot3^3+0\cdot3^2+2\cdot3^1+2\cdot3^0=143 \ }\)
ってして各位の数に\(\small{ \ 3^n \ }\)をかけてあげればいいよね。

\(\small{ \ 3 \ }\)進法は下一桁の位から順に\(\small{ \ 3^0, \ 3^1, \ 3^2, \ \cdots \ }\)って並んでる。

だから一般化すると\(\small{ \ a_k a_{k-1}\cdots a_{1}a_{0} \ _{(n)} \ }\)を\(\small{ \ 10 \ }\)進法で表すと

\(\small{ \ a_k\cdot n^k+a_{k-1}\cdot n^{k-1}+\cdots+a_1\cdot n^1+a_0\cdot n^0 \ }\)

になるんだ。

10進法からn進法への変換(整数)

それじゃ次に底を\(\small{ \ 10 \ }\)進数を\(\small{ \ n \ }\)進数に変換する計算方法を見てみよう。

\(\small{ \ 10 \ }\)進数の\(\small{ \ 143 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)進法にするには\(\small{ \ 3 \ }\)で\(\small{ \ 143 \ }\)を割り続けるんだ。

まずは\(\small{ \ 143 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割ると商が\(\small{ \ 47 \ }\)で余り\(\small{ \ 2 \ }\)。
次に\(\small{ \ 47 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割ると商が\(\small{ \ 15 \ }\)で余り\(\small{ \ 2 \ }\)。
\(\small{ \ 15 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割ると商が\(\small{ \ 5 \ }\)で余り\(\small{ \ 0 \ }\)。
\(\small{ \ 5 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)で割ると商が\(\small{ \ 1 \ }\)で余り\(\small{ \ 2 \ }\)。

\(\small{\begin{eqnarray} \
3&&\underline{)143}\\[-3pt] 3&&\underline{) \ \ 47}\cdots\color{red}{2}\\[-5pt] 3&&\underline{) \ \ 15}\cdots\color{blue}{2}\\[-5pt] 3&&\underline{) \ \ \ \ 5}\cdots\color{green}{0}\\[-5pt] && \ \ \ \ \ \ \color{#ff00ff}{1}\cdots\color{orange}{2} \end{eqnarray} \ }\)

商が\(\small{ \ 3 \ }\)で割れなくなるところまで計算して、最後の商から順に出てきた余りを逆に並べると\(\small{ \ \color{#ff00ff}{1}\color{orange}{2}\color{green}{0}\color{blue}{2}\color{red}{2} \ }\)になる。これが\(\small{ \ 10 \ }\)進数\(\small{ \ 143 \ }\)を\(\small{ \ 3 \ }\)進法で表した数\(\small{ \ 12022_{(3)} \ }\)になるんだ。

なんでそうなるかっていうと商を\(\small{ \ 3 \ }\)で割り続ける計算は次の計算になる。
\(\small{\begin{eqnarray} \ 143&=&47\cdot3+2\\
47&=&15\cdot3+2\\
15&=&5\cdot3+0\\
5&=&1\cdot3+2 \ \end{eqnarray}}\)
これを式変形に利用すると
\(\small{\begin{eqnarray} \ 143&=&47\cdot3+2\\
&=&3(15\cdot3+2)+2\\
&=&15\cdot3^2+2\cdot3+2\\
&=&(5\cdot3+0)3^2+2\cdot3+2\\
&=&5\cdot3^3+0\cdot3^2+2\cdot3+2\\
&=&(1\cdot3+2)3^3+0\cdot3^2+2\cdot3+2\\
&=&1\cdot3^4+2\cdot3^3+0\cdot3^2+2\cdot3+2 \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ 143 \ }\)を\(\small{ \ 3^n \ }\)を並べた形で表すために繰り返し\(\small{ \ 3 \ }\)で割ったんだ。

だから\(\small{ \ 10 \ }\)進数を\(\small{ \ n \ }\)進法で表したい場合は、\(\small{ \ n \ }\)で繰り返し割ろう。

n進法から10進法への変換(小数)

次に小数を変換する方法を考えてみよう。

\(\small{ \ 10 \ }\)進法で表された数\(\small{ \ 12.345 \ }\)って\(\small{ \ 1\cdot10+2+3\cdot\displaystyle\frac{1}{10}+4\cdot\displaystyle\frac{1}{100}+5\cdot\displaystyle\frac{1}{1000} \ }\)
ってことになるよね。

これって\(\small{ \ 10 \ }\)進法では小数点以下の位は\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{10} \ }\)の位、\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{10^2} \ }\)の位、\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{10^3} \ }\)の位・・・ってなっていくんだ。
これと同じで\(\small{ \ n \ }\)進法では、小数点以下の位は\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{n} \ }\)の位、\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{n^2} \ }\)の位、\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{n^3} \ }\)の位・・・ってなっていく。

point
数学IIの指数関数で教わるんだけど\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{10} \ }\)は\(\small{ \ 10^{-1} \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{10^2} \ }\)は\(\small{ \ 10^{-2} \ }\)ってかけるんだ。
ちなみに\(\small{ \ a^0=1 \ }\)ってなるから、\(\small{ \ 10^0=1 \ }\)。

だから\(\small{ \ 10 \ }\)進法は\(\small{ \ 1 \ }\)の位から\(\small{ \ 10 \ }\)の位ってあがるにつれて\(\small{ \ 10^0, \ 10^1, \ 10^2 \cdots \ }\)ってなっていくし、小数部分は小数第一位から順に\(\small{ \ 10^{-1}, \ 10^{-2}, \ 10^{-3} \cdots \ }\)ってなるんだ。

これを\(\small{ \ n \ }\)進法にすると整数部分の位は\(\small{ \ n^0, \ n^1, \ n^2 \cdots \ }\)って上がっていくし、小数部分は小数第一位から順に\(\small{ \ n^{-1}, \ n^{-2}, \ n^{-3} \cdots \ }\)ってなるんだ。

だから、例えば\(\small{ \ 12.123_{(4)} \ }\)を\(\small{ \ 10 \ }\)進法で表すと

\(\small{ \ 1\cdot4^1+2\cdot4^0+1\cdot\displaystyle\frac{1}{4}+2\cdot\displaystyle\frac{1}{4^2}+3\cdot\displaystyle\frac{1}{4^3}=6.421875 \ }\)

になる。

10進法からn進法への変換(小数)

\(\small{ \ 10 \ }\)進法で表された数は\(\small{ \ 10 \ }\)倍すると位があがるよね。
つまり\(\small{ \ 12.345 \ }\)を\(\small{ \ 10 \ }\)倍すると\(\small{ \ 123.45 \ }\)になる。

これと同じで\(\small{ \ 4 \ }\)進法で表された\(\small{ \ 12.123_{(4)} \ }\)は\(\small{ \ 4 \ }\)倍すると位があがるんだ。

だって\(\small{ \ 12.123_{(4)} \ }\)を\(\small{ \ 10 \ }\)進法で表すと
\(\small{ \ 1\cdot4^1+2\cdot4^0+1\cdot\displaystyle\frac{1}{4}+2\cdot\displaystyle\frac{1}{4^2}+3\cdot\displaystyle\frac{1}{4^3} \ }\)
になるから\(\small{ \ 4 \ }\)倍すると
\(\small{ \ 1\cdot4^2+2\cdot4^1+1\cdot4^0++2\cdot\displaystyle\frac{1}{4^1}+3\cdot\displaystyle\frac{1}{4^2} \ }\)
これって\(\small{ \ 4 \ }\)進法の\(\small{ \ 121.23_{(4)} \ }\)を表してるよね。

つまり\(\small{ \ 4 \ }\)進法で表された\(\small{ \ 12.123_{(4)} \ }\)を\(\small{ \ 4 \ }\)倍すると\(\small{ \ 121.23_{(4)} \ }\)になるんだ。

これを利用してさっき計算した\(\small{ \ 12.123_{(4)}=6.421875 \ }\)が導けるのか、\(\small{ \ 10 \ }\)進法で表された小数を\(\small{ \ 4 \ }\)進法にしてみよう。

整数部分と小数部分は別で考えるから小数部分\(\small{ \ 0.421875 \ }\)について考えてみよう。\(\small{ \ 0.421875=0.a_1a_2a_3a_4\cdots_{(4)} \ }\)になるとする。

まずは両辺を\(\small{ \ 4 \ }\)倍しよう。
\(\small{ \ 0.421875 \ }\)を\(\small{ \ 4 \ }\)倍すると\(\small{ \ 1.6875 \ }\)
\(\small{ \ 0.a_1a_2a_3a_4\cdots_{(4)} \ }\)を\(\small{ \ 4 \ }\)倍すると\(\small{ \ a_1.a_2a_3a_4\cdots_{(4)} \ }\)

両辺の整数部分を比較して\(\small{ \ a_1=1 \ }\)
つまり整数部分\(\small{ \ 1 \ }\)が元の数の\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{4} \ }\)の位の数字になる。

さらに整数部分をのぞいた\(\small{ \ 0.6875 \ }\)を\(\small{ \ 4 \ }\)倍すると
\(\small{ \ 2.75 \ }\)
\(\small{ \ 0.a_2a_3a_4\cdots_{(4)} \ }\)を\(\small{ \ 4 \ }\)倍すると\(\small{ \ a_2.a_3a_4\cdots_{(4)} \ }\)
両辺の整数部分を比較して\(\small{ \ a_2=2 \ }\)
つまり整数部分\(\small{ \ 2 \ }\)が元の数の\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{4^2} \ }\)の位の数字になる。

さらに整数部分をのぞいた\(\small{ \ 0.75 \ }\)を\(\small{ \ 4 \ }\)倍すると\(\small{ \ 3 \ }\)
\(\small{ \ 0.a_3a_4\cdots_{(4)} \ }\)を\(\small{ \ 4 \ }\)倍すると\(\small{ \ a_3.a_4\cdots_{(4)} \ }\)
両辺の整数部分を比較して\(\small{ \ a_3=3 \ }\)
つまり整数部分\(\small{ \ 3 \ }\)が元の数の\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{4^3} \ }\)の位の数字になる。

\(\small{\begin{array}{r}
&0.421875&=&0.a_1a_2a_3a_4\cdots_{(4)}\\
\times&4&&\times \phantom{0.a_1 0.a_1a_2a_1a_2} 4\\
\hline
&\color{red}{1}.6875&=&\color{red}{a_1}.a_2a_3a_4\cdots_{(4)}\\
\times&4&&\times \phantom{0.a_1 0.a_1a_2a_1a_2} 4\\
\hline
&\color{blue}{2}.75&=&\color{blue}{a_2}.a_3a_4\cdots_{(4)}\\
\times&4&&\times \phantom{0.a_1 0.a_1a_2a_1a_2} 4\\
\hline
&\color{green}{3}&=&\color{green}{a_3}.a_4\cdots_{(4)}\end{array}}\)

だから\(\small{ \ 0.421875=0.123_{(4)} \ }\)になる。

一般化すると\(\small{ \ 10 \ }\)進法の小数を\(\small{ \ n \ }\)進法で表すには掛ける数を\(\small{ \ n \ }\)にして、上みたい小数部分に掛け算を繰り返して、各位の数を求めればいいんだ。

point
ちなみに「\(\small{ \ 4 \ }\)進法で表された\(\small{ \ 12.123_{(4)} \ }\)を\(\small{ \ 4 \ }\)倍すると\(\small{ \ 121.23_{(4)} \ }\)になる。」ってところで\(\small{ \ 4 \ }\)進法では\(\small{ \ 4 \ }\)は\(\small{ \ 10_{(4)} \ }\)になるよね。つまり\(\small{ \ 10_{(4)} \ }\)すると桁があがるんだよね。

もちろん\(\small{ \ n \ }\)進法の場合は\(\small{ \ n \ }\)倍すると桁があがる。\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ n \ }\)進法で書くと\(\small{ \ 10_{(n)} \ }\)になるからね。

つまり\(\small{ \ n \ }\)進数に\(\small{ \ 10_{(n)} \ }\)をかければ桁が上がるんだ。普段使う\(\small{ \ 10 \ }\)進法の\(\small{ \ 10 \ }\)倍と同じような感じで桁が上がるんだ。

例題を確認
問題解答

次の\(\small{ \ 10 \ }\)進数を\(\small{ \ 2 \ }\)進数で、\(\small{ \ 2 \ }\)進数を\(\small{ \ 10 \ }\)進数で表せ。
(1)\(\small{ \ 124 \ }\)
(2)\(\small{ \ 11101_{(2)} \ }\)
(3)\(\small{ \ 0.8125 \ }\)
(4)\(\small{ \ 0.101_{(2)} \ }\)

(1)\(\small{ \ 124 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \
2&&\underline{)124}\\[-3pt] 2&&\underline{) \ \ 62}\cdots0\\[-5pt] 2&&\underline{) \ \ 31}\cdots0\\[-5pt] 2&&\underline{) \ \ 15}\cdots1\\[-5pt] 2&&\underline{) \ \ \ \ 7}\cdots1\\[-5pt] 2&&\underline{) \ \ \ \ 3}\cdots1\\[-5pt] && \ \ \ \ \ \ 1\cdots1 \end{eqnarray} \ }\)

\(\small{ \ 1111100_{(2)} \ }\)

(2)\(\small{ \ 11101_{(2)} \ }\)
\(\small{ \ 1\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+1=29 \ }\)

(3)\(\small{ \ 0.8125 \ }\)
\(\small{\begin{array}{r}
&0.8125\\
\times&2\\
\hline
&1.625\\
\times&2\\
\hline
&1.25\\
\times&2\\
\hline
&0.5\\
\times&2\\
\hline
&1\end{array}}\)
\(\small{ \ 0.1101_{(2)} \ }\)

(4)\(\small{ \ 0.101_{(2)} \ }\)
\(\small{ \ 1\cdot\displaystyle\frac{1}{2}+1\cdot\displaystyle\frac{1}{2^3}=0.625 \ }\)

Point \(\small{ \ n \ }\)進法の表し方

①\(\small{ \ n \ }\)進法から\(\small{ \ 10 \ }\)進法の変換(整数・小数)を覚える
②\(\small{ \ 10 \ }\)進法から\(\small{ \ n \ }\)進法の変換(整数・小数)を覚える

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リンス

名前:リンス
職業:塾講師/家庭教師
性別:男
趣味:料理・問題研究
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