集合の要素の個数

\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ 100 \ }\)までの整数のうち次のような数は何個あるか。
(1)\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数
(2)\(\small{ \ 12 \ }\)の倍数
(3)\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数であるが\(\small{ \ 12 \ }\)の倍数でない整数
(4)\(\small{ \ 8 \ }\)でも\(\small{ \ 12 \ }\)でも割り切れない整数

(1)\(\small{ \ 100 \div 8=12 \ }\)余り\(\small{ \ 4 \ }\)
よって\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数は\(\small{ \ 12 \ }\)個

(2)\(\small{ \ 100 \div 12=8 \ }\)余り\(\small{ \ 4 \ }\)
よって\(\small{ \ 12 \ }\)の倍数は\(\small{ \ 8 \ }\)個

(3)\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数の集合を\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)
\(\small{ \ 12 \ }\)の倍数の集合を\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)とする
\(\small{ \ 8 \ }\)の倍数であるが\(\small{ \ 12 \ }\)の倍数でない整数の集合は\(\small{ \ \mathrm{A}\cap \overline{\mathrm{B}} \ }\)
\(\small{ \ n\left(\mathrm{A}\cap \overline{\mathrm{B}}\right)=n(\mathrm{A})-n\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right) \ }\)
ここで\(\small{ \ \mathrm{A}\cap\mathrm{B} \ }\)は\(\small{ \ 24 \ }\)の倍数の集合より
\(\small{ \ 100\div 24=4 \ }\)余り\(\small{ \ 4 \ }\)
\(\small{ \ n\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)=4 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ n\left(\mathrm{A}\cap \overline{\mathrm{B}}\right)&=&n(\mathrm{A})-n\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)\\
&=&12-4=8 \ \end{eqnarray}}\)

(4)\(\small{ \ 8 \ }\)でも\(\small{ \ 12 \ }\)でも割り切れない
整数の集合は\(\small{ \ \overline{\mathrm{A}}\cap \overline{\mathrm{B}} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ n\left(\overline{\mathrm{A}}\cap \overline{\mathrm{B}}\right)&=&n\left(\overline{\mathrm{A}\cup\mathrm{B}}\right)\\
&=&n\left(\mathrm{U}\right)-n\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\right)\\
&=&100-12-8+4\\
&=&84 \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ 50 \ }\)人の中で、塾に通っている人は\(\small{ \ 33 \ }\)人、英会話教室に通っている人は\(\small{ \ 27 \ }\)人である。このとき以下の問いについて答えよ。
(1)塾にも英会話教室にも通っていない人は最大何人いるといえるか。
(2)塾と英会話教室どちらにも通っている人は最低何人いるといえるか。
(3)塾だけ通っている人は何人以上何人以下いるといえるか。
(4)英会話教室だけ通っている人は最大何人いるといえるか。

塾に通っている人の集合を\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)、英会話教室に通っている人の集合を\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)とする。

(1)塾にも英会話教室にも通っていない人が最も多いのは\(\small{ \ \mathrm{B}\subset \mathrm{A} \ }\)のとき
\(\small{ \ n(\overline{\mathrm{A}\cup \mathrm{B}})=n(\mathrm{U})-n(\mathrm{A})=17 \ }\)

(2)塾と英会話教室どちらにも通っている人が一番少ないのは\(\small{ \ n(\overline{\mathrm{A}\cup \mathrm{B}})=0 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ n(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})&=&n(\mathrm{A})+n(\mathrm{B})-n(\mathrm{U})\\
&=&33+27-50\\
&=&10 \ \end{eqnarray}}\)

(3)塾だけ通っている人は
(i)\(\small{ \ \mathrm{B}\subset \mathrm{A} \ }\)のとき
\(\small{ \ 33-27=6 \ }\)
(ii)\(\small{ \ n(\overline{\mathrm{A}\cup \mathrm{B}})=0 \ }\)のとき
\(\small{ \ 33-10=23 \ }\)
よって\(\small{ \ 6 \ }\)人以上\(\small{ \ 23 \ }\)人以下

(4)英会話だけ通っているひとが一番少ないのは\(\small{ \ n(\overline{\mathrm{A}\cup \mathrm{B}})=0 \ }\)のとき
\(\small{ \ 27-10=17 \ }\)

\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ 100 \ }\)までの整数のうち、\(\small{ \ 2 \ }\)、\(\small{ \ 5 \ }\)、\(\small{ \ 9 \ }\)の少なくとも一つで割り切れる整数の数を求めよ。

\(\small{ \ 2 \ }\)で割り切れる数の集合を\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)
\(\small{ \ 5 \ }\)で割り切れる数の集合を\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)
\(\small{ \ 9 \ }\)で割り切れる数の集合を\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)
とする。
\(\small{ \ n(\mathrm{A})=50 \ }\)
\(\small{ \ n(\mathrm{B})=20 \ }\)
\(\small{ \ n(\mathrm{C})=11 \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{A\cap B} \ }\)は\(\small{ \ 10 \ }\)で割り切れる数
\(\small{ \ \mathrm{A\cap C} \ }\)は\(\small{ \ 18 \ }\)で割り切れる数
\(\small{ \ \mathrm{B\cap C} \ }\)は\(\small{ \ 45 \ }\)で割り切れる数
\(\small{ \ n(\mathrm{A\cap B})=10 \ }\)
\(\small{ \ n(\mathrm{A\cap C})=5 \ }\)
\(\small{ \ n(\mathrm{B\cap C})=2 \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{A\cap B\cap C} \ }\)は\(\small{ \ 90 \ }\)で割り切れる数
\(\small{ \ n(\mathrm{A\cap B\cap C})=1 \ }\)

図のように各要素の個数を\(\small{ \ a, \ b, \ c, \ d, \ e, \ f, \ g, \ h \ }\)とすると
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}\\
a+b+c+d+e+f+g+h=100\\
a+b+c+e=50\\
b+c+d+f=20\\
c+e+f+g=11\\
b+c=10\\
c+e=5\\
c+f=2\\
c=1\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}\\
a=36\\
b=9\\
c=1\\
d=9\\
e=4\\
f=1\\
g=5\\
h=35
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
よって求める答えは\(\small{ \ a+b+c+d+e+f+g=65 \ }\)