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点の移動

2020年6月29日

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は点の移動について学習していこう。

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点の移動

高校数学では座標で考えることって、とても多い。
「図形と方程式」や「ベクトル」「複素数平面」だってそうだよね。

もっと考えると、いろんな関数や微分積分だって\(\small{ \ xy \ }\)平面にグラフを書き込んだりするよね。
今回はそんな\(\small{ \ xy \ }\)平面上での点の移動について考えてみよう。

点の移動

点\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)の移動
・\(\small{ \ x \ }\)軸対称移動
\(\small{ \ (a, \ -b) \ }\)
・\(\small{ \ y \ }\)軸対称移動
\(\small{ \ (-a, \ b) \ }\)
・原点対称移動
\(\small{ \ (-a, \ -b) \ }\)
・平行移動
\(\small{ \ (a+\alpha, \ b+\beta) \ }\)
・\(\small{ \ y=x \ }\)に対称移動
\(\small{ \ (b, \ a) \ }\)
・\(\small{ \ y=-x \ }\)に対称移動
\(\small{ \ (-b, \ -a) \ }\)
・原点まわりに\(\small{ \ \theta \ }\)回転移動
\(\small{ \ (a\cos \theta-b\sin \theta, \ a\sin \theta+b\cos \theta) \ }\)

x軸・y軸・原点対称移動

\(\small{ \ x \ }\)軸に関して対称、\(\small{ \ y \ }\)軸に関して対称、原点に関して対称っていうのは図を見れば明らかだよね。

つまり座標の符号が反転するってことになる。

これはあくまで点の移動だけど、関数の表すグラフの曲線も点の集まりだから、あるグラフ上の点を対称移動させることを考えれば、そのグラフを対称移動させることになるよね。

x軸y軸原点対称

だから\(\small{ \ y=f(x) \ }\)のグラフを\(\small{ \ y=f(-x) \ }\)にすれば\(\small{ \ y \ }\)軸に関して対称なグラフになるし、\(\small{ \ -y=f(x) \ }\)にすれば\(\small{ \ x \ }\)軸に関して対称なグラフになるんだ。

この軸に対称なグラフは、二次関数の定期試験に出題されるよね。

CHECK
二次関数のグラフの対称移動-i
二次関数のグラフの対称移動

x軸対称、y軸対称、原点対称について詳しく解説しています。

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point
さらに深く考えると、\(\small{ \ y \ }\)軸対称の偶関数や原点対称の奇関数ってことにもつながっていくよね。
CHECK
三角関数と周期関数・偶関数・奇関数-i
三角関数と周期関数・偶関数・奇関数

周期関数の周期や偶関数と奇関数の判定について詳しく解説しています。

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平行移動

\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)軸方向に\(\small{ \ +\alpha \ }\)、\(\small{ \ y \ }\)軸方向に\(\small{ \ +\beta \ }\)平行移動させると\(\small{ \ (a+\alpha, \ b+\beta) \ }\)になる。

点の平行移動

点だけならこれで終わりだけど、これを関数まで発展させてみよう。

移動した点を\(\small{ \ (x, \ y) \ }\)とすると
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a+\alpha \\
y=b+\beta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\ }\)
これを変形すると
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a=x-\alpha \\
b=y-\beta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\cdots① \ }\)
になる。

\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上に\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)があるとすると\(\small{ \ b=f(a) \ }\)
これに\(\small{ \ ①}\)を代入すると
\(\small{ \ y-\beta=f(x-\alpha) \ }\)

この式が\(\small{ \ y=f(x) \ }\) を\(\small{ \ x \ }\)軸方向に\(\small{ \ +\alpha \ }\)、\(\small{ \ y \ }\)軸方向に\(\small{ \ +\beta \ }\)平行移動した式になるんだ。

これは二次関数をはじめ、三角関数や指数関数でもよく使われる式だよね。

CHECK
二次関数のグラフの平行移動-i
二次関数のグラフの平行移動

平方形の移動と一般形の移動について詳しく解説しています。

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CHECK
三角関数のグラフ(1)-i
三角関数のグラフ(1)

sinとcosのグラフの注意する点について詳しく解説しています。

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y=xに関して対称移動

\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)と\(\small{ \ (p, \ q) \ }\)が\(\small{ \ y=x \ }\)に関して対称なら、二点を結ぶ線分と\(\small{ \ y=x \ }\)は垂直に交わるし、二点の中点は\(\small{ \ y=x \ }\)上にあるから
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{b-q}{a-p}\cdot1=-1\\
\displaystyle\frac{b+q}{2}=\displaystyle\frac{a+p}{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\ }\)

y=xに関して対称移動

これを式変形すると
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p+q=a+b \\
p-q=-a+b
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて、\(\small{ \ (p, \ q)=(b, a ) \ }\)になる。

つまり\(\small{ \ x \ }\)座標と\(\small{ \ y \ }\)座標を入れ替えたら\(\small{ \ y=x \ }\)に関して対称移動するんだ。

これを関数に発展させると\(\small{ \ y=f(x) \ }\)を\(\small{ \ y=x \ }\)に関して対称移動した関数は\(\small{ \ x=f(y) \ }\)になるんだ。

point
数学Ⅲまで勉強している人はあわせて逆関数のことまで思い出してほしいな。

数学Ⅱなら\(\small{ \ y=2^x \ }\)と\(\small{ \ y=\log_2x \ }\)が\(\small{ \ y=x \ }\)に対称だよね。

y=-xに関して対称移動

\(\small{ \ y=x \ }\)に関して対称移動と同じように\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)と\(\small{ \ (p, \ q) \ }\)が\(\small{ \ y=-x \ }\)に関して対称なら、二点を結ぶ線分と\(\small{ \ y=-x \ }\)は垂直に交わるし、二点の中点は\(\small{ \ y=x \ }\)上にあるから
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{b-q}{a-p}\cdot(-1)=-1\\
\displaystyle\frac{b+q}{2}=-\displaystyle\frac{a+p}{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\ }\)

y=-xに関して対称移動

これを式変形すると
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p-q=a-b \\
-p-q=a+b
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて、\(\small{ \ (p, \ q)=(-b, -a ) \ }\)になる。

つまり\(\small{ \ x \ }\)座標と\(\small{ \ y \ }\)座標を入れ替えて、符号を反転させたら\(\small{ \ y=-x \ }\)に関して対称移動するんだ。

これを関数に発展させると\(\small{ \ y=f(x) \ }\)を\(\small{ \ y=-x \ }\)に関して対称移動した関数は\(\small{ \ -x=f(-y) \ }\)になるんだ。

原点周りに回転移動

次は点\(\small{ \ \mathrm{A}(a, \ b) \ }\)を原点周りに\(\small{ \ \theta \ }\)回転させる移動について考えていこう。

原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{A}(a, \ b) \ }\)を結ぶ線分\(\small{ \ \mathrm{OA} \ }\)と\(\small{ \ x \ }\)軸のなす角を\(\small{ \ \alpha \ }\)とすると
\(\small{ \ \cos \alpha=\displaystyle\frac{a}{\mathrm{OA}}=\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \ }\)
\(\small{ \ \sin \alpha=\displaystyle\frac{b}{\mathrm{OA}}=\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \ }\)

原点まわりの回転移動

点\(\small{ \ \mathrm{A}(a, \ b) \ }\)を原点周りに\(\small{ \ \theta \ }\)回転させた点を\(\small{ \ \mathrm{B}(p, \ q) \ }\)とすると
\(\small{ \ p=\sqrt{a^2+b^2}\cos \left(\theta+\alpha\right) \ }\)
\(\small{ \ q=\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(\theta+\alpha\right) \ }\)
になる。

\(\small{\begin{eqnarray} \ p&=&\sqrt{a^2+b^2}\cos \left(\theta+\alpha\right)\\[3pt] &=&\sqrt{a^2+b^2}\left(\cos \theta\cos \alpha-\sin \theta\sin \alpha\right)\\[3pt] &=&\sqrt{a^2+b^2}\left(\cos \theta\cdot\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}-\sin \theta\cdot\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\\[3pt] &=&a\cos \theta-b\sin \theta \ \end{eqnarray}}\)

さらに

\(\small{\begin{eqnarray} \ q&=&\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(\theta+\alpha\right)\\[3pt] &=&\sqrt{a^2+b^2}\left(\sin \theta\cos \alpha+\cos \theta\sin \alpha\right)\\[3pt] &=&\sqrt{a^2+b^2}\left(\sin \theta\cdot\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\cos \theta\cdot\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\\[3pt] &=&a\sin \theta+b\cos \theta \ \end{eqnarray}}\)

つまり\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)を原点周りに\(\small{ \ \theta \ }\)回転させた点\(\small{ \ (p, \ q) \ }\)は

\(\small{ \ (p, \ q)=(a\cos \theta-b\sin \theta, \ a\sin \theta+b\cos \theta) \ }\)

になるんだ。

point
回転については複素数平面(数学Ⅲ)で考えると

\(\small{\begin{eqnarray} \ p+qi&=&(a+bi)(\cos \theta+i\sin \theta)\\[3pt] &=&a\cos \theta-b\sin \theta+(a\sin \theta+b\cos \theta)i \ \end{eqnarray}}\)

って簡単に求めることもできるからね。

Point 点の移動

①点の移動の式を導けるようにする
②関数への発展を考える

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