こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は点の移動について学習していこう。
点の移動
高校数学では座標で考えることって、とても多い。
「図形と方程式」や「ベクトル」「複素数平面」だってそうだよね。
もっと考えると、いろんな関数や微分積分だって\(\small{ \ xy \ }\)平面にグラフを書き込んだりするよね。
今回はそんな\(\small{ \ xy \ }\)平面上での点の移動について考えてみよう。
点\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)の移動
・\(\small{ \ x \ }\)軸対称移動
\(\small{ \ (a, \ -b) \ }\)
・\(\small{ \ y \ }\)軸対称移動
\(\small{ \ (-a, \ b) \ }\)
・原点対称移動
\(\small{ \ (-a, \ -b) \ }\)
・平行移動
\(\small{ \ (a+\alpha, \ b+\beta) \ }\)
・\(\small{ \ y=x \ }\)に対称移動
\(\small{ \ (b, \ a) \ }\)
・\(\small{ \ y=-x \ }\)に対称移動
\(\small{ \ (-b, \ -a) \ }\)
・原点まわりに\(\small{ \ \theta \ }\)回転移動
\(\small{ \ (a\cos \theta-b\sin \theta, \ a\sin \theta+b\cos \theta) \ }\)
x軸・y軸・原点対称移動
\(\small{ \ x \ }\)軸に関して対称、\(\small{ \ y \ }\)軸に関して対称、原点に関して対称っていうのは図を見れば明らかだよね。
つまり座標の符号が反転するってことになる。
これはあくまで点の移動だけど、関数の表すグラフの曲線も点の集まりだから、あるグラフ上の点を対称移動させることを考えれば、そのグラフを対称移動させることになるよね。

だから\(\small{ \ y=f(x) \ }\)のグラフを\(\small{ \ y=f(-x) \ }\)にすれば\(\small{ \ y \ }\)軸に関して対称なグラフになるし、\(\small{ \ -y=f(x) \ }\)にすれば\(\small{ \ x \ }\)軸に関して対称なグラフになるんだ。
この軸に対称なグラフは、二次関数の定期試験に出題されるよね。
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二次関数のグラフの対称移動
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三角関数と周期関数・偶関数・奇関数
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平行移動
\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)軸方向に\(\small{ \ +\alpha \ }\)、\(\small{ \ y \ }\)軸方向に\(\small{ \ +\beta \ }\)平行移動させると\(\small{ \ (a+\alpha, \ b+\beta) \ }\)になる。

点だけならこれで終わりだけど、これを関数まで発展させてみよう。
移動した点を\(\small{ \ (x, \ y) \ }\)とすると
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a+\alpha \\
y=b+\beta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\ }\)
これを変形すると
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a=x-\alpha \\
b=y-\beta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\cdots① \ }\)
になる。
\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上に\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)があるとすると\(\small{ \ b=f(a) \ }\)
これに\(\small{ \ ①}\)を代入すると
\(\small{ \ y-\beta=f(x-\alpha) \ }\)
この式が\(\small{ \ y=f(x) \ }\) を\(\small{ \ x \ }\)軸方向に\(\small{ \ +\alpha \ }\)、\(\small{ \ y \ }\)軸方向に\(\small{ \ +\beta \ }\)平行移動した式になるんだ。
これは二次関数をはじめ、三角関数や指数関数でもよく使われる式だよね。
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y=xに関して対称移動
\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)と\(\small{ \ (p, \ q) \ }\)が\(\small{ \ y=x \ }\)に関して対称なら、二点を結ぶ線分と\(\small{ \ y=x \ }\)は垂直に交わるし、二点の中点は\(\small{ \ y=x \ }\)上にあるから
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{b-q}{a-p}\cdot1=-1\\
\displaystyle\frac{b+q}{2}=\displaystyle\frac{a+p}{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\ }\)

これを式変形すると
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p+q=a+b \\
p-q=-a+b
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて、\(\small{ \ (p, \ q)=(b, a ) \ }\)になる。
つまり\(\small{ \ x \ }\)座標と\(\small{ \ y \ }\)座標を入れ替えたら\(\small{ \ y=x \ }\)に関して対称移動するんだ。
これを関数に発展させると\(\small{ \ y=f(x) \ }\)を\(\small{ \ y=x \ }\)に関して対称移動した関数は\(\small{ \ x=f(y) \ }\)になるんだ。

数学Ⅱなら\(\small{ \ y=2^x \ }\)と\(\small{ \ y=\log_2x \ }\)が\(\small{ \ y=x \ }\)に対称だよね。
y=-xに関して対称移動
\(\small{ \ y=x \ }\)に関して対称移動と同じように\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)と\(\small{ \ (p, \ q) \ }\)が\(\small{ \ y=-x \ }\)に関して対称なら、二点を結ぶ線分と\(\small{ \ y=-x \ }\)は垂直に交わるし、二点の中点は\(\small{ \ y=x \ }\)上にあるから
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{b-q}{a-p}\cdot(-1)=-1\\
\displaystyle\frac{b+q}{2}=-\displaystyle\frac{a+p}{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\ }\)

これを式変形すると
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p-q=a-b \\
-p-q=a+b
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて、\(\small{ \ (p, \ q)=(-b, -a ) \ }\)になる。
つまり\(\small{ \ x \ }\)座標と\(\small{ \ y \ }\)座標を入れ替えて、符号を反転させたら\(\small{ \ y=-x \ }\)に関して対称移動するんだ。
これを関数に発展させると\(\small{ \ y=f(x) \ }\)を\(\small{ \ y=-x \ }\)に関して対称移動した関数は\(\small{ \ -x=f(-y) \ }\)になるんだ。
原点周りに回転移動
次は点\(\small{ \ \mathrm{A}(a, \ b) \ }\)を原点周りに\(\small{ \ \theta \ }\)回転させる移動について考えていこう。
原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{A}(a, \ b) \ }\)を結ぶ線分\(\small{ \ \mathrm{OA} \ }\)と\(\small{ \ x \ }\)軸のなす角を\(\small{ \ \alpha \ }\)とすると
\(\small{ \ \cos \alpha=\displaystyle\frac{a}{\mathrm{OA}}=\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \ }\)
\(\small{ \ \sin \alpha=\displaystyle\frac{b}{\mathrm{OA}}=\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \ }\)

点\(\small{ \ \mathrm{A}(a, \ b) \ }\)を原点周りに\(\small{ \ \theta \ }\)回転させた点を\(\small{ \ \mathrm{B}(p, \ q) \ }\)とすると
\(\small{ \ p=\sqrt{a^2+b^2}\cos \left(\theta+\alpha\right) \ }\)
\(\small{ \ q=\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(\theta+\alpha\right) \ }\)
になる。
さらに
つまり\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)を原点周りに\(\small{ \ \theta \ }\)回転させた点\(\small{ \ (p, \ q) \ }\)は
になるんだ。

って簡単に求めることもできるからね。
Point 点の移動
①点の移動の式を導けるようにする
②関数への発展を考える