点対称・線対称・面対称

点\(\small{ \ \mathrm{A}(2, \ 0, \ 3) \ }\)に関して、点\(\small{ \ \mathrm{P}(4, \ -2, \ 5) \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標を求めよ。

点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)に関して、点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)は対称だから点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)は点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の中点である
\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標を\(\small{ \ (x, \ y, \ z) \ }\)とすると
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x+4}{2}=2 \\
\displaystyle\frac{y-2}{2}=0\\
\displaystyle\frac{z+5}{2}=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて
\(\small{ \ (x, \ y, \ z)=(0, \ 2, \ 1) \ }\)

\(\small{ \ z \ }\)軸に関して、点\(\small{ \ \mathrm{P}(4, \ -2, \ 5) \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標を求めよ。
また、\(\small{ \ y \ }\)軸に関して、点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)の座標も求めよ。

\(\small{ \ z \ }\)軸に関して、点\(\small{ \ \mathrm{P}(4, \ -2, \ 5) \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標は
\(\small{ \ z \ }\)座標以外の符号が変わるので
\(\small{ \ (x, \ y, \ z)=(-4, \ 2, \ 5) \ }\)

同様に\(\small{ \ y \ }\)軸に関して、点\(\small{ \ \mathrm{P}(4, \ -2, \ 5) \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)の座標は
\(\small{ \ y \ }\)座標以外の符号が変わるので
\(\small{ \ (x, \ y, \ z)=(-4, \ -2, \ -5) \ }\)

空間中に直線\(\small{ \ l \ }\)\(\small{ \ \displaystyle\frac{x-1}{-1}=\displaystyle\frac{y-4}{-2}=z-3 \ }\)がある。
直線\(\small{ \ l \ }\)に関して、点\(\small{ \ \mathrm{P}(-1, \ 2, \ 3) \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標を求めよ。

点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標を\(\small{ \ (a, \ b, \ c) \ }\)とする
\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)と直線\(\small{ \ l \ }\)は垂直より

\(\small{ \ \therefore -a-2b+c=0\cdots① \ }\)
直線\(\small{ \ l \ }\)を媒介変数\(\small{ \ t \ }\)を利用して表すと
\(\small{ \ (x, \ y, \ z)=(-t+1, \ -2t+4, \ t+3) \ }\)
点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の中点は\(\small{ \ l \ }\)上にあるので

これを整理して
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a=-2t+3 \\
b=-4t+6\\
c=2t+3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\cdots② \ }\)
\(\small{ \ ①, \ ② \ }\)より\(\small{ \ t=1, \ (a, \ b, \ c)=(1, \ 2, \ 5) \ }\)

点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)から直線\(\small{ \ l \ }\)に下ろした垂線の足を\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)とする
\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)の座標は直線\(\small{ \ l \ }\)上にあるので\(\small{ \ (-t+1, \ -2t+4, \ t+3) \ }\)とおける
\(\small{ \ \mathrm{PH} \ }\)は直線\(\small{ \ l \ }\)に垂直だから

これを解いて\(\small{ \ t=1 \ }\)
よって\(\small{ \ \mathrm{H}(0, \ 2, \ 4) \ }\)
点\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)は点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の中点だから
\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標を\(\small{ \ (a, \ b, \ c) \ }\)とすると
\(\small{ \ \left(\displaystyle\frac{a-1}{2}, \ \displaystyle\frac{b+2}{2}, \ \displaystyle\frac{c+3}{2}\right)=(0, \ 2, \ 4) \ }\)
これより
\(\small{ \ (a, \ b, \ c)=(1, \ 2, \ 5) \ }\)

\(\small{ \ xy \ }\)平面に関して、点\(\small{ \ \mathrm{P}(4, \ -2, \ 5) \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標を求めよ。
また、平面\(\small{ \ y=4 \ }\)に関して、点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)の座標も求めよ。

\(\small{ \ xy \ }\)平面に関して、点\(\small{ \ \mathrm{P}(4, \ -2, \ 5) \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標は
\(\small{ \ z \ }\)座標の符号が変わるので
\(\small{ \ \mathrm{Q}(4, \ -2, \ -5) \ }\)

平面\(\small{ \ y=4 \ }\)に関して、点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)の座標は\(\small{ \ (4, \ a, \ 5) \ }\)とおける
点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の\(\small{ \ y \ }\)座標と点\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)の\(\small{ \ y \ }\)座標の中点が平面\(\small{ \ y=4 \ }\)上にあればいいので
\(\small{ \ \displaystyle\frac{a-2}{2}=4 \ }\)
\(\small{ \ a=10 \ }\)
よって求める\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)の座標は\(\small{ \ (4, \ 10, \ 5) \ }\)

\(\small{ \ x+2y-3z-2=0 \ }\)に関して点\(\small{ \ \mathrm{P}(3, \ 6, \ -5) \ }\)と対称な点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標を求めよ。

点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)を通り平面\(\small{ \ x+2y-3z-2=0 \ }\)に垂直な直線上の点は媒介変数\(\small{ \ t \ }\)を用いて
\(\small{\begin{eqnarray} \ (x, \ y, \ z)&=&(3, \ 6, \ -5)+t(1, \ 2, \ -3)\\
&=&(t+3, \ 2t+6, \ -3t-5) \ \end{eqnarray}}\)
直線と平面の交点の座標は
\(\small{ \ t+3+2(2t+6)-3(-3t-5)-2=0 \ }\)
これを解いて
\(\small{ \ t=-2 \ }\)
よって対称な点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標は\(\small{ \ t=-4 \ }\)のとき
よって求める座標は\(\small{ \ (-1, \ -2, \ 7) \ }\)

\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の座標を\(\small{ \ (a, \ b, \ c) \ }\)とする
\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)は平面と垂直に交わるので法線ベクトルに平行
\(\small{ \ (a-3, \ b-6, \ c+5)=k(1, \ 2, \ -3) \ }\)
\(\small{ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a=k+3 \\
b=2k+6\\
c=-3k-5
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\cdots① \ }\)
点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)の中点は平面上にあるので、

\(\small{ \ a+2b-3c+26=0\cdots② \ }\)
\(\small{ \ ①, \ ② \ }\)より
\(\small{ \ k=-4 \ }\)
\(\small{ \ (a, \ b, \ c)=(-1, \ -2, \ 7) \ }\)