ガウス記号

(1)\(\small{ \ \lbrack 2x+1 \rbrack=4 \ }\)を満たす\(\small{ \ x \ }\)の範囲を求めよ。
(2)\(\small{ \ \lbrack x+1 \rbrack=\displaystyle\frac{1}{2}x+3 \ }\)を解け。

(1)\(\small{ \ \lbrack 2x+1 \rbrack=4 \ }\)より\(\small{ \ 4\leqq 2x+1 \lt 5 \ }\)
これを解いて\(\small{ \ \displaystyle\frac{3}{2}\leqq x \lt 2 \ }\)
(2)\(\small{ \ \lbrack x+1 \rbrack \ }\)は\(\small{ \ x \lt \lbrack x+1 \rbrack \leqq x+1 \ }\)より
\(\small{ \ x \lt \displaystyle\frac{1}{2}x+3 \leqq x+1 \ }\)
これを解くと\(\small{ \ 4\leqq x \lt 6 \ }\)
(i)\(\small{ \ 4\leqq x \lt 5 \ }\)のとき\(\small{ \ \lbrack x+1 \rbrack=5 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{2}x+3=5 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=4 \ }\)
(ii)\(\small{ \ 5\leqq x \lt 6 \ }\)のとき\(\small{ \ \lbrack x+1 \rbrack=6 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{2}x+3=6 \ }\)
\(\small{ \ x=6 \ }\)　\(\small{ \ 5\leqq x \lt 6 \ }\)より不適
(i)(ii)より\(\small{ \ x=4 \ }\)

正の数\(\small{ \ p \ }\)に対して、\(\small{ \ p \ }\)の整数部分、小数部分をそれぞれ\(\small{ \ \lbrack p \rbrack, \ \langle x \rangle \ }\)とする。
例えば\(\small{ \ \lbrack 3.14\rbrack=3, \ \langle 3.14 \rangle=0.14 \ }\)である。
自然数\(\small{ \ n \ }\)に対して、\(\small{ \ x \ }\)の二次方程式\(\small{ \ x^2-nx-1=0 \ }\)の解で正のものを\(\small{ \ \alpha \ }\)とする。\(\small{ \ n^2\lt n^2+4 \lt n^2+4n+4 \ }\)である。
このとき次の値を求めよ。
(1)\(\small{ \ \alpha \ }\)
(2)\(\small{ \ \lbrack \alpha \rbrack \ }\)
(3)\(\small{ \ \langle \alpha \rangle \ }\)
(4)\(\small{ \ \lbrack \displaystyle\frac{1}{\alpha} \rbrack \ }\)
(5)\(\small{ \ \langle \displaystyle\frac{1}{\alpha} \rangle \ }\)
(6)\(\small{ \ \lbrack \displaystyle\frac{1}{\langle \alpha \rangle} \rbrack \ }\)
(7)\(\small{ \ \langle \displaystyle\frac{1}{\langle \alpha \rangle} \rangle \ }\)

(1)
\(\small{ \ x^2-nx-1=0 \ }\)
\(\small{ \ \alpha\gt0 \ }\)より\(\small{ \ x=\displaystyle\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2} \ }\)

(2)
\(\small{ \ n^2\lt n^2+4 \lt n^2+4n+4 \ }\)
\(\small{ \ n\lt \sqrt{n^2+4}\lt n+2 \ }\)
\(\small{ \ n\lt \displaystyle\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\lt n+1 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \lbrack \alpha \rbrack&=&\lbrack \displaystyle\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2} \rbrack\\[3pt] &=&n \ \end{eqnarray}}\)

(3)
\(\small{ \ \langle \alpha \rangle=\alpha-\lbrack \alpha \rbrack \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ \langle \alpha \rangle&=&\displaystyle\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}-n\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{2} \ \end{eqnarray}}\)

(4)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \displaystyle\frac{1}{\alpha}&=&\displaystyle\frac{2}{n+\sqrt{n^2+4}}\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{2(n-\sqrt{n^2+4})}{(n+\sqrt{n^2+4})(n-\sqrt{n^2+4})}\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{2} \ \end{eqnarray}}\)
ここで
\(\small{ \ 0\lt \sqrt{n^2+4}-n \lt 2 \ }\)より
\(\small{ \ 0\lt \displaystyle\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{2}\lt 1 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \lbrack \displaystyle\frac{1}{\alpha} \rbrack&=&\lbrack \displaystyle\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{2} \rbrack\\[3pt] &=&0 \ \end{eqnarray}}\)

(5)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \langle \displaystyle\frac{1}{\alpha} \rangle&=&\displaystyle\frac{1}{\alpha}-\lbrack \displaystyle\frac{1}{\alpha} \rbrack\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{2} \ \end{eqnarray}}\)

(6)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \lbrack \displaystyle\frac{1}{\langle \alpha \rangle}\rbrack&=&\lbrack \displaystyle\frac{2}{\sqrt{n^2+4}- n}\rbrack\\[3pt] &=&\lbrack \displaystyle\frac{\sqrt{n^2+4}+n}{2}\rbrack\\[3pt] &=&n \ \end{eqnarray}}\)

(7)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \langle \displaystyle\frac{1}{\langle \alpha \rangle}\rangle&=&\displaystyle\frac{1}{\langle \alpha \rangle}-\lbrack \displaystyle\frac{1}{\langle \alpha \rangle}\rbrack\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{\sqrt{n^2+4}+n}{2}-n\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{\sqrt{n^2+4}-n}{2} \ \end{eqnarray}}\)