指数関数の最大・最小

(1)
\(\small{ \ y=2^x \ }\)は単調増加のグラフより
\(\small{x=2 \ }\)のとき最大値\(\small{\quad4}\)
最小値 なし

(2)
\(\small{y=\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^x}\)は単調減少のグラフより
\(\small{x=-1\hspace{ 3pt }}\)のとき最大値\(\small{\quad2}\)
\(\small{x=3\quad}\)のとき最小値\(\small{\quad\displaystyle \frac{1}{8}}\)

(3)
①\(\small{ \ y=a^x(0\lt a \lt 1)}\)のとき
\(\small{y=a^x}\)は単調減少のグラフより
\(\small{x=-1\hspace{ 3pt }}\)のとき最大値\(\small{\quad\displaystyle \frac{1}{a}}\)
\(\small{x=3\quad}\)のとき最小値\(\small{\quad a^3}\)

②\(\small{ \ y=a^x(a \gt 1)}\)のとき
\(\small{y=a^x}\)は単調増加のグラフより
\(\small{x=3\quad}\)のとき最大値\(\small{\quad a^3}\)
\(\small{x=-1\hspace{ 3pt }}\)のとき最小値\(\small{\quad \displaystyle \frac{1}{a}}\)

(1)
\(\small{\begin{eqnarray}
y&=&4^x-2^{x+3}+10\\
&=&(2^x)^2-2^3\cdot2^x+4\\
&=&(2^x)^2-8\cdot2^x+4
\end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ 2^x=t \ }\)とおくと\(\small{ \ (t\gt0)}\)
\(\small{\begin{eqnarray}y&=&t^2-8t+10\\
&=&(t-4)^2-6
\end{eqnarray}}\)
\(\small{t=4 \Leftrightarrow 2^x=4}\)
\(\small{\therefore \ x=2 \ }\)のとき最小値\(\small{ \ -6 \ }\)
最大値なし

(2)
\(\small{y=a^{2x}-6a^x+10}\)
\(\small{ \ a^x=t \ }\)とおくと\(\small{ \ t\gt0}\)
\(\small{\begin{eqnarray}y&=&t^2-6t+10\\
&=&(t-3)^2+1\end{eqnarray}}\)
ここで\(\small{ \ a\gt1 \ }\)より\(\small{ \ a\leqq t\leqq a^2}\)
①\(\small{ \ a^2\lt 3}\)
 \(\small{\quad \therefore 1\lt a \lt \sqrt{3} \ }\)のとき
\(\small{ \ t=a \ }\)のとき\(\small{ \ \therefore x=1 \ }\)のとき
最大値\(\small{ \ a^2-6a+10}\)
\(\small{t=a^2 \ }\)のとき\(\small{\therefore x=2 \ }\)のとき
最小値\(\small{ \ a^4-6a^2+10}\)

②\(\small{ \ \displaystyle \frac{a+a^2}{2}\lt 3 \leqq a^2}\)
\(\small{\quad \therefore \sqrt{3}\leqq a \lt 2 \ }\)のとき
\(\small{t=a \ }\)のとき\(\small{\therefore x=1 \ }\)のとき
最大値\(\small{ \ a^2-6a+10}\)
\(\small{t=3 \ }\)のとき　\(\small{\therefore x=\log_a3 \ }\)のとき
最小値\(\small{ \ 1}\)

③\(\small{ \ a \lt 3 \leqq \displaystyle \frac{a+a^2}{2} }\)
\(\small{\quad \therefore 2\leqq a \lt 3 \ }\)のとき
\(\small{t=a^2 \ }\)のとき　\(\small{\therefore x=2 \ }\)のとき
最大値\(\small{ \ a^4-6a^2+10}\)
\(\small{t=3 \ }\)のとき　\(\small{\therefore x=\log_a3 \ }\)のとき
最小値\(\small{ \ 1}\)

④\(\small{ \ a \gt 3 \ }\)のとき
\(\small{t=a^2 \ }\)のとき　\(\small{\therefore x=2 \ }\)のとき
最大値\(\small{ \ a^4-6a^2+10}\)
\(\small{t=a \ }\)のとき　\(\small{\therefore x=1 \ }\)のとき
最小値\(\small{ \ a^2-6a+10}\)

(1)
\(\small{\begin{eqnarray}
y&=&4^x+4^{-x}-2^{x+3}-2^{-x+3}+16\\
&=&(2^x)^2+(2^{-x})^2-8(2^x+2^{-x})+16\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)とおくと
相加平均と相乗平均の関係より
\(\small{ \ t=2^x+2^{-x}\geqq 2\sqrt{2^x\cdot2^{-x}}=2 \ }\)より\(\small{ \ t\geqq2 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
y&=&(t^2-2)-8t+16\\
&=&t^2-8t+14\\
&=&(t-4)^2-2\end{eqnarray}}\)
\(\small{\therefore t=4 \ }\)のとき最小値をとる
\(\small{ \ t=2^x+2^{-x}=4 \ }\)より
\(\small{ \ 2^x=a \ }\)とおくと\(\small{ \ a+\displaystyle \frac{1}{a}=4 \ }\)
\(\small{ \ a^2-4a+1=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a=2\pm\sqrt{3} \ }\)
\(\small{ \ x=\log_2(2\pm\sqrt{3})}\)
\(\small{ \ x=\log_2(2\pm\sqrt{3}) \ }\)のとき最小値\(\small{ \ -2 \ }\)

①\(\small{ \ a\geqq 2 \ }\)のとき
\(\small{ \ t=a \ }\)のとき最小
\(\small{ \ 2^x+2^{-x}=a \ }\)
\(\small{ \ 2^x=k \ }\)とおくと
\(\small{ \ k+\displaystyle \frac{1}{k}=a \ }\)
\(\small{ \ k^2-ak+1=0 \ }\)
\(\small{ \ k=\displaystyle \frac{a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}}\)
\(\small{ \ \therefore x=\log_2\displaystyle \frac{a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}}\)
よって\(\small{ \ x=\log_2\displaystyle \frac{a\pm \sqrt{a^2-4}}{2} \ }\)のとき
最小値\(\small{ \ 14 \ }\)

②\(\small{ \ a\lt 2 \ }\)のとき
\(\small{ \ t=2 \ }\)のとき最小
\(\small{ \ 2^x+2^{-x}=2}\)
\(\small{ \ 2^x=k \ }\)とおくと
\(\small{ \ k+\displaystyle \frac{1}{k}=2 \ }\)
\(\small{ \ k^2-2k+1=0 \ }\)
\(\small{ \ (k-1)^2=0}\)
\(\small{ \ k=1 \quad \therefore x=1}\)
よって\(\small{ \ x=1 \ }\)のとき最小値\(\small{ \ 18-4a}\)